Analyse — Formules
Chaque dérivée et intégrale dont vous avez besoin dans une table organisée — règles de puissance, exponentielle, logarithme, trigonométrique, trigonométrique inverse et hyperbolique — avec des liens en un tap vers nos solveurs interactifs de dérivées et d'intégrales pour traiter votre propre problème tout de suite.
Dérivées usuelles
Puissances et racines
- d/dx(c)=0
- d/dx(x)=1
- d/dx(xⁿ)=n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x)=1/(2√x)
Exponentielle et logarithme
- d/dx(eˣ)=eˣ
- d/dx(aˣ)=aˣ·ln a
- d/dx(ln x)=1/x
- d/dx(logₐx)=1/(x·ln a)
Trigonométriques
- d/dx(sin x)=cos x
- d/dx(cos x)=−sin x
- d/dx(tan x)=sec²x
- d/dx(cot x)=−csc²x
- d/dx(sec x)=sec x·tan x
- d/dx(csc x)=−csc x·cot x
Trigonométriques inverses
- d/dx(arcsin x)=1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x)=−1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x)=1/(1+x²)
Règles
- (f ± g)′=f′ ± g′
- (c·f)′=c·f′
- (f·g)′=f′g + fg′
- (f/g)′=(f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′=f′(g(x))·g′(x)
Hyperboliques
- d/dx(sinh x)=cosh x
- d/dx(cosh x)=sinh x
- d/dx(tanh x)=sech²x
Ce sont les résultats élémentaires standards. Toute intégrale peut être vérifiée en dérivant le résultat pour retrouver la fonction de départ — par exemple d/dx(−cos x) = sin x confirme que ∫sin x dx = −cos x + C.
Dérivées usuelles
Puissances et racines
- d/dx(c) = 0
- d/dx(x) = 1
- d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x) = 1/(2√x)
Exponentielle et logarithme
- d/dx(eˣ) = eˣ
- d/dx(aˣ) = aˣ·ln a
- d/dx(ln x) = 1/x
- d/dx(logₐx) = 1/(x·ln a)
Trigonométriques
- d/dx(sin x) = cos x
- d/dx(cos x) = −sin x
- d/dx(tan x) = sec²x
- d/dx(cot x) = −csc²x
- d/dx(sec x) = sec x·tan x
- d/dx(csc x) = −csc x·cot x
Trigonométriques inverses
- d/dx(arcsin x) = 1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x) = −1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x) = 1/(1+x²)
Règles
- (f ± g)′ = f′ ± g′
- (c·f)′ = c·f′
- (f·g)′ = f′g + fg′
- (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)
Hyperboliques
- d/dx(sinh x) = cosh x
- d/dx(cosh x) = sinh x
- d/dx(tanh x) = sech²x
Intégrales usuelles
Puissances et racines
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
- ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫1 dx = x + C
Exponentielle et logarithme
- ∫eˣ dx = eˣ + C
- ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
- ∫ln x dx = x·ln x − x + C
Trigonométriques
- ∫sin x dx = −cos x + C
- ∫cos x dx = sin x + C
- ∫sec²x dx = tan x + C
- ∫csc²x dx = −cot x + C
- ∫sec x·tan x dx = sec x + C
- ∫tan x dx = −ln|cos x| + C
- ∫cot x dx = ln|sin x| + C
Trigonométriques inverses
- ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C
- ∫1/√(1−x²) dx = arcsin x + C
- ∫1/(a²+x²) dx = (1/a)·arctan(x/a) + C
Règles
- ∫(f ± g) dx = ∫f dx ± ∫g dx
- ∫c·f dx = c·∫f dx
- ∫u dv = u·v − ∫v du
À propos des formules d'analyse
C'est l'aide-mémoire d'analyse que les étudiants consultent le plus : les dérivées usuelles et les intégrales indéfinies, organisées exactement comme elles sont enseignées. Basculez entre les onglets Dérivées et Intégrales et parcourez les cartes par type — règles de puissance et de racine (dont d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹ et ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C), règles exponentielles et logarithmiques, les six fonctions trigonométriques et leurs réciproques, les règles de dérivation et d'intégration (produit, quotient, chaîne, linéarité et intégration par parties) et les dérivées hyperboliques de base. Chaque formule est écrite en notation Unicode propre — sans images — pour se copier proprement dans vos notes et être facile à lire pour les technologies d'assistance et l'IA. Ce qui distingue cette page d'un PDF statique, c'est qu'elle est reliée aux calculateurs interactifs d'UnitConv : quand vous trouvez la règle qu'il vous faut, touchez « Calculez votre propre dérivée » ou « Calculez votre propre intégrale » pour ouvrir nos solveurs pas à pas et traiter votre problème réel. Utilisez-la comme référence pour les devoirs, comme liste de révision pour l'examen ou pour une recherche rapide pendant que vous travaillez sur une série d'exercices.
Comment utiliser cette référence
- 1 Choisissez l'onglet Dérivées ou Intégrales selon ce que vous cherchez.
- 2 Trouvez la règle dans les cartes groupées — puissance, exponentielle, logarithme, trigonométriques, inverses, règles ou hyperboliques — et recopiez-la dans votre travail.
- 3 Touchez « Calculez votre propre dérivée » ou « Calculez votre propre intégrale » pour ouvrir le calculateur interactif et traiter votre propre fonction.
Comment dérivées et intégrales sont liées
La dérivation et l'intégration sont des opérations inverses, ce qui est tout le sens du théorème fondamental de l'analyse : si F′(x) = f(x), alors ∫f(x) dx = F(x) + C. C'est pourquoi chaque entrée de la table des intégrales peut être vérifiée en dérivant le résultat : • ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C car d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ (valable pour n ≠ −1 ; le cas manquant ∫1/x dx = ln|x| + C comble le vide). • ∫sin x dx = −cos x + C car d/dx(−cos x) = sin x, et ∫cos x dx = sin x + C car d/dx(sin x) = cos x. • ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C car d/dx(arctan x) = 1/(1+x²). L'intégrale indéfinie porte une constante d'intégration « + C » parce que dériver n'importe quelle constante donne zéro, si bien que la primitive n'est déterminée qu'à cette constante près. Les règles de dérivation (produit, quotient et chaîne) et leurs équivalents intégraux (linéarité et intégration par parties, ∫u dv = u·v − ∫v du, qui n'est que la règle du produit à l'envers) vous permettent d'étendre ces briques de base à presque toute fonction élémentaire.
Questions fréquentes
Quelles sont les dérivées les plus courantes à mémoriser ?
L'essentiel est la règle de la puissance d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹, les règles exponentielle et logarithmique d/dx(eˣ) = eˣ et d/dx(ln x) = 1/x, et les dérivées trigonométriques d/dx(sin x) = cos x, d/dx(cos x) = −sin x et d/dx(tan x) = sec²x. Combinées aux règles du produit, du quotient et de la chaîne, elles permettent de dériver presque toute fonction élémentaire rencontrée dans un premier cours d'analyse.
Pourquoi chaque intégrale indéfinie porte-t-elle un « + C » ?
Comme dériver une constante donne zéro, deux primitives quelconques d'une même fonction ne diffèrent que d'une constante. L'intégrale indéfinie n'est donc pas une seule fonction, mais toute une famille, écrite avec la constante d'intégration « + C ». Par exemple ∫cos x dx = sin x + C, et sin x + 3 comme sin x − 7 sont des primitives valables. La constante n'est fixée que lorsqu'on dispose d'une condition initiale ou qu'on évalue une intégrale définie.
Comment vérifier qu'une intégrale est correcte ?
Dérivez votre résultat — si vous retrouvez l'intégrande de départ, l'intégrale est juste. Cela marche parce que la dérivation et l'intégration sont des opérations inverses. Par exemple, pour confirmer ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, dérivez le membre de droite : d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ, qui est exactement l'intégrande. Cette autovérification est le moyen le plus rapide de repérer une erreur.
Qu'est-ce que l'intégration par parties ?
L'intégration par parties est l'équivalent intégral de la règle du produit : ∫u dv = u·v − ∫v du. On l'utilise quand l'intégrande est un produit de deux types de fonctions différents — par exemple x·eˣ ou x·ln x — en choisissant u et dv pour que l'intégrale restante ∫v du soit plus simple que l'originale. Un repère courant pour choisir u est l'ordre LIATE (logarithmique, trigonométrique inverse, algébrique, trigonométrique, exponentielle).
Outils associés
Transformez chacune de ces règles en une solution rédigée sur UnitConv : dérivez une fonction pas à pas avec le calculateur de dérivées, trouvez des primitives et des intégrales définies avec le calculateur d'intégrales, consultez les identités trigonométriques dont vous aurez besoin en chemin, et mettez en forme les grands ou petits nombres avec le convertisseur de notation scientifique.