代数公式
你需要的所有代数公式，汇集于一张有条理的表格中 — 二次方程求根公式、指数与对数法则、因式分解与乘法公式、根式、直线与距离以及复数 — 并配有一键链接，直达我们的交互式方程求解器和计算器，让你立刻着手解决自己的题目。
二次方程
- x (for ax²+bx+c=0)=(−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D=b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots=−b/a
- Product of roots=c/a
- Vertex x=−b/2a
指数法则
- aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ
- a⁰=1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ=1/aⁿ
- a^(1/n)=ⁿ√a
- a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ)
对数性质
- logₐ(xy)=logₐx + logₐy
- logₐ(x/y)=logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ)=n·logₐx
- logₐa=1
- logₐ1=0
- logₐx=ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx)=x
因式分解与乘法公式
- a² − b²=(a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b²=(a+b)²
- a² − 2ab + b²=(a−b)²
- a³ + b³=(a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³=(a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³
根式
- √(ab)=√a·√b
- √(a/b)=√a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ)=a^(m/n)
- √a·√a=a (a ≥ 0)
- a/√b=a√b/b (rationalize)
直线与距离
- slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept=y = mx + b
- point-slope=y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
复数
- i²=−1
- (a+bi) + (c+di)=(a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di)=(ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi|=√(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi)=a²+b²
这些是标准的代数恒等式。每一条对所有可取的值都成立，因此你可以通过代入数字来验证 — 例如 a²−b² = (a+b)(a−b) 在 a=5、b=3 时得到 16 = 8·2。✓
二次方程
- x (for ax²+bx+c=0) = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D = b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots = −b/a
- Product of roots = c/a
- Vertex x = −b/2a
指数法则
- aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(1/n) = ⁿ√a
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
对数性质
- logₐ(xy) = logₐx + logₐy
- logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ) = n·logₐx
- logₐa = 1
- logₐ1 = 0
- logₐx = ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx) = x
因式分解与乘法公式
- a² − b² = (a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b² = (a+b)²
- a² − 2ab + b² = (a−b)²
- a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³
根式
- √(ab) = √a·√b
- √(a/b) = √a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
- √a·√a = a (a ≥ 0)
- a/√b = a√b/b (rationalize)
直线与距离
- slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept = y = mx + b
- point-slope = y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
复数
- i² = −1
- (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi| = √(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi) = a²+b²
关于代数公式
这是学生最常用的代数速查表：二次方程求根公式、指数与对数法则、因式分解与乘法公式恒等式、根式、含距离与中点的直线方程，以及复数基础 — 完全按照课堂讲授的顺序整理。按主题浏览卡片：二次方程求根公式 x = (−b ± √(b²−4ac))/2a，连同判别式 D = b²−4ac 以及根的和与积；七条指数法则(aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ、(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ、a⁻ⁿ = 1/aⁿ 等)；对数性质(logₐ(xy) = logₐx + logₐy、幂法则和换底公式)；因式分解恒等式，包括平方差 a²−b² = (a+b)(a−b) 以及立方和与立方差；根式法则与分母有理化；斜率、斜截式、点斜式、距离与中点；以及带模和共轭的复数运算。每个公式都用清晰的 Unicode 记法书写 — 没有图片 — 因此能干净地复制到你的笔记中，也便于辅助技术和 AI 读取。这个页面与静态 PDF 的区别在于它与 UnitConv 的交互式计算器相连：找到所需公式后，点按「求解二次方程」「指数计算器」或「对数计算器」即可打开我们的分步工具，计算你的实际题目。可将其用作作业参考、考前复习清单，或在做代数练习时快速查阅。
如何使用本参考
- 1 在分组卡片中找到你需要的主题 — 二次方程、指数、对数、因式分解、根式、直线或复数。
- 2 将清晰 Unicode 记法的公式直接复制到你的作业中，或用它核对你自己的结果。
- 3 点按「求解二次方程」「指数计算器」或「对数计算器」打开交互式工具，代入你自己的数字进行计算。
这些代数公式如何相互关联
代数的大部分内容都建立在少数几条恒等式之上，而这些恒等式都可以通过代入来验证。二次方程求根公式 x = (−b ± √(b²−4ac))/2a 来自对 ax²+bx+c = 0 的配方，其判别式 D = b²−4ac 在你动手求解之前就告诉你根的性质(两个实根、一个重根，或一对共轭复根)。指数法则与对数性质是一枚硬币的两面 — 因为对数是指数的逆运算，所以 logₐ(xy) = logₐx + logₐy 正是 aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ 的另一种表述。乘法公式和因式分解恒等式是同一个等式的正反两读：展开 (a+b)(a−b) 得到 a²−b²，而分解 a²−b² 得到 (a+b)(a−b)。直线的各个公式都源自斜率 m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)，而距离公式不过是对坐标之差应用勾股定理。复数通过定义 i² = −1 将上述一切加以推广，正是这一点让每个二次方程都可解。由于其中每一条都是恒等式，你都可以用数值加以确认：任取 a 和 b，例如验证 a³−b³ 确实等于 (a−b)(a²+ab+b²)。
常见问题
什么是二次方程求根公式，何时使用它？
求根公式可以求解任何形如 ax²+bx+c = 0 的方程：x = (−b ± √(b²−4ac))/2a。当二次方程不易因式分解时就用它。根号下的量，即判别式 D = b²−4ac，会告诉你结果如何：D > 0 有两个不同的实根，D = 0 有一个重实根，D < 0 有一对共轭复根。例如 x²−5x+6 = 0 得到 x = (5 ± √1)/2 = {3, 2}。
我需要记住哪些指数法则？
核心法则是乘积法则 aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ、商法则 aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ、幂法则 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ，以及分配法则 (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ 和 (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ。再加上特殊情形 a⁰ = 1(当 a ≠ 0)、负指数 a⁻ⁿ = 1/aⁿ，以及分数指数 a^(1/n) = ⁿ√a 和 a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)。这些法则合起来，就能化简任何含幂和根的表达式。
对数性质与指数法则有何关系？
对数是指数的逆运算，所以每条对数性质都对应一条指数法则。因为 aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ，取对数就把乘法变成加法：logₐ(xy) = logₐx + logₐy。同理，logₐ(x/y) = logₐx − logₐy 对应商法则，logₐ(xⁿ) = n·logₐx 对应幂法则。换底公式 logₐx = ln x / ln a 让你能在只有 ln 或 log₁₀ 的计算器上算出任意对数。
什么是平方差，为什么它如此有用？
平方差是恒等式 a²−b² = (a+b)(a−b)。它是最有用的因式分解模式之一，因为它把两个完全平方数的相减化为一个可以化简或约去的乘积 — 例如 x²−9 = (x+3)(x−3)。它也是用共轭对分母进行有理化的基础：乘以 (a−b)/(a−b) 可消去根号，因为 (a+√b)(a−√b) = a²−b。相关的立方和与立方差 a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²) 将同样的思路推广到三次幂。
相关工具
在 UnitConv 上把这些公式中的任意一条变成一道算好的题：用方程求解器分步求解二次方程或任意方程，用指数计算器计算幂，用对数计算器处理对数和换底，并用科学记数法转换器整理非常大或非常小的数字。