Algebra-Formeln
Alle Algebra-Formeln, die du brauchst, in einer übersichtlichen Tabelle — die Lösungsformel für quadratische Gleichungen, Potenz- und Logarithmengesetze, Faktorisieren und binomische Formeln, Wurzeln, Geraden und Abstand sowie komplexe Zahlen — mit Ein-Tipp-Links zu unserem interaktiven Gleichungslöser und den Rechnern, damit du deine eigene Aufgabe sofort bearbeiten kannst.
Quadratische Gleichung
- x (for ax²+bx+c=0)=(−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D=b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots=−b/a
- Product of roots=c/a
- Vertex x=−b/2a
Potenzgesetze
- aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ
- a⁰=1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ=1/aⁿ
- a^(1/n)=ⁿ√a
- a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ)
Logarithmengesetze
- logₐ(xy)=logₐx + logₐy
- logₐ(x/y)=logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ)=n·logₐx
- logₐa=1
- logₐ1=0
- logₐx=ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx)=x
Faktorisieren & binomische Formeln
- a² − b²=(a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b²=(a+b)²
- a² − 2ab + b²=(a−b)²
- a³ + b³=(a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³=(a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³
Wurzeln
- √(ab)=√a·√b
- √(a/b)=√a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ)=a^(m/n)
- √a·√a=a (a ≥ 0)
- a/√b=a√b/b (rationalize)
Geraden & Abstand
- slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept=y = mx + b
- point-slope=y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Komplexe Zahlen
- i²=−1
- (a+bi) + (c+di)=(a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di)=(ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi|=√(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi)=a²+b²
Dies sind die üblichen algebraischen Identitäten. Jede gilt für alle zulässigen Werte, du kannst sie also durch Einsetzen von Zahlen prüfen — zum Beispiel ergibt a²−b² = (a+b)(a−b) bei a=5, b=3 den Wert 16 = 8·2. ✓
Quadratische Gleichung
- x (for ax²+bx+c=0) = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D = b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots = −b/a
- Product of roots = c/a
- Vertex x = −b/2a
Potenzgesetze
- aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(1/n) = ⁿ√a
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
Logarithmengesetze
- logₐ(xy) = logₐx + logₐy
- logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ) = n·logₐx
- logₐa = 1
- logₐ1 = 0
- logₐx = ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx) = x
Faktorisieren & binomische Formeln
- a² − b² = (a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b² = (a+b)²
- a² − 2ab + b² = (a−b)²
- a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³
Wurzeln
- √(ab) = √a·√b
- √(a/b) = √a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
- √a·√a = a (a ≥ 0)
- a/√b = a√b/b (rationalize)
Geraden & Abstand
- slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept = y = mx + b
- point-slope = y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Komplexe Zahlen
- i² = −1
- (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi| = √(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi) = a²+b²
Über die Algebra-Referenz
Dies ist der Algebra-Spickzettel, zu dem Schülerinnen und Schüler am häufigsten greifen: die Lösungsformel für quadratische Gleichungen, die Potenz- und Logarithmengesetze, die binomischen Formeln und Faktorisierungsidentitäten, Wurzeln, die Geradengleichungen mit Abstand und Mittelpunkt sowie die Grundlagen der komplexen Zahlen — genau so geordnet, wie sie unterrichtet werden. Blättere durch die Karten nach Thema: die Lösungsformel x = (−b ± √(b²−4ac))/2a zusammen mit der Diskriminante D = b²−4ac sowie Summe und Produkt der Lösungen; die sieben Potenzgesetze (aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ und mehr); die Logarithmengesetze (logₐ(xy) = logₐx + logₐy, die Potenzregel und der Basiswechsel); die Faktorisierungsidentitäten einschließlich der dritten binomischen Formel a²−b² = (a+b)(a−b) sowie Summe und Differenz von Kuben; Wurzelgesetze und das Rationalmachen des Nenners; Steigung, Steigungs-Achsenabschnitts-Form, Punkt-Steigungs-Form, Abstand und Mittelpunkt; und die Arithmetik komplexer Zahlen mit Betrag und Konjugierter. Jede Formel ist in sauberer Unicode-Notation geschrieben — keine Bilder — sodass sie sich sauber in deine Notizen kopieren lässt und für assistive Technik und KI leicht lesbar ist. Was diese Seite von einem statischen PDF unterscheidet, ist ihre Verbindung zu den interaktiven Rechnern von UnitConv: Wenn du die gesuchte Formel gefunden hast, tippe auf „Quadratische Gleichung lösen“, „Potenzrechner“ oder „Logarithmusrechner“, um unsere Schritt-für-Schritt-Werkzeuge zu öffnen und deine konkrete Aufgabe zu rechnen. Nutze sie als Hausaufgaben-Referenz, als Wiederholungsliste für Prüfungen oder zum schnellen Nachschlagen, während du eine Algebra-Aufgabe bearbeitest.
So nutzt du diese Referenz
- 1 Finde das benötigte Thema in den gruppierten Karten — quadratische Gleichung, Exponenten, Logarithmen, Faktorisieren, Wurzeln, Geraden oder komplexe Zahlen.
- 2 Kopiere die Formel in sauberer Unicode-Notation direkt in deine Arbeit oder prüfe dein eigenes Ergebnis daran.
- 3 Tippe auf „Quadratische Gleichung lösen“, „Potenzrechner“ oder „Logarithmusrechner“, um das interaktive Werkzeug zu öffnen und mit deinen eigenen Zahlen zu rechnen.
Wie diese Algebra-Formeln zusammenhängen
Der größte Teil der Algebra baut auf einer Handvoll Identitäten auf, die du stets durch Einsetzen überprüfen kannst. Die Lösungsformel x = (−b ± √(b²−4ac))/2a folgt aus der quadratischen Ergänzung von ax²+bx+c = 0, und ihre Diskriminante D = b²−4ac verrät dir die Art der Lösungen (zwei reelle, eine doppelte oder ein komplex-konjugiertes Paar), noch bevor du überhaupt löst. Die Potenzgesetze und die Logarithmengesetze sind zwei Seiten derselben Medaille — weil ein Logarithmus die Umkehrung einer Exponentialfunktion ist, ist logₐ(xy) = logₐx + logₐy genau die Aussage, dass aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Die binomischen Formeln und Faktorisierungsidentitäten sind dieselbe Gleichung, in beide Richtungen gelesen: Ausmultiplizieren von (a+b)(a−b) ergibt a²−b², und Faktorisieren von a²−b² ergibt (a+b)(a−b). Die Geradenformeln folgen alle aus der Steigung m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), und die Abstandsformel ist nur der Satz des Pythagoras, angewandt auf die Koordinatendifferenzen. Komplexe Zahlen erweitern all das, indem sie i² = −1 definieren, was jede quadratische Gleichung lösbar macht. Da jede davon eine Identität ist, kannst du sie numerisch bestätigen: Wähle beliebige a und b und prüfe zum Beispiel, dass a³−b³ wirklich (a−b)(a²+ab+b²) ergibt.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Lösungsformel für quadratische Gleichungen und wann verwende ich sie?
Die Lösungsformel löst jede Gleichung der Form ax²+bx+c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac))/2a. Verwende sie immer dann, wenn sich eine quadratische Gleichung nicht sauber faktorisieren lässt. Der Ausdruck unter der Wurzel, die Diskriminante D = b²−4ac, sagt dir, was zu erwarten ist: D > 0 ergibt zwei verschiedene reelle Lösungen, D = 0 eine doppelte reelle Lösung und D < 0 ein Paar komplex-konjugierter Lösungen. Zum Beispiel ergibt x²−5x+6 = 0 den Wert x = (5 ± √1)/2 = {3, 2}.
Welche Potenzgesetze muss ich mir merken?
Die Kerngesetze sind die Produktregel aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, die Quotientenregel aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, die Potenzregel (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ und die Verteilungsregeln (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ und (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Ergänze die Sonderfälle a⁰ = 1 (für a ≠ 0), den negativen Exponenten a⁻ⁿ = 1/aⁿ und die gebrochenen Exponenten a^(1/n) = ⁿ√a und a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Zusammen ermöglichen sie es dir, jeden Ausdruck mit Potenzen und Wurzeln zu vereinfachen.
Wie hängen Logarithmengesetze mit Potenzgesetzen zusammen?
Ein Logarithmus ist die Umkehrung einer Exponentialfunktion, daher spiegelt jedes Logarithmengesetz ein Potenzgesetz. Weil aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ gilt, macht das Logarithmieren aus Multiplikation Addition: logₐ(xy) = logₐx + logₐy. Ebenso spiegelt logₐ(x/y) = logₐx − logₐy die Quotientenregel, und logₐ(xⁿ) = n·logₐx spiegelt die Potenzregel. Mit der Basiswechselformel logₐx = ln x / ln a kannst du jeden Logarithmus auf einem Rechner berechnen, der nur ln oder log₁₀ hat.
Was ist die dritte binomische Formel und warum ist sie so nützlich?
Die dritte binomische Formel ist die Identität a²−b² = (a+b)(a−b). Sie ist eines der nützlichsten Faktorisierungsmuster, weil sie eine Subtraktion zweier Quadratzahlen in ein Produkt verwandelt, das du vereinfachen oder kürzen kannst — zum Beispiel x²−9 = (x+3)(x−3). Sie liegt auch dem Rationalmachen von Nennern mit der Konjugierten zugrunde: Die Multiplikation mit (a−b)/(a−b) beseitigt eine Wurzel, weil (a+√b)(a−√b) = a²−b. Die verwandten Summen und Differenzen von Kuben, a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²), erweitern denselben Gedanken auf dritte Potenzen.
Verwandte Werkzeuge
Mach aus jeder dieser Formeln eine ausgerechnete Lösung auf UnitConv: Löse eine quadratische oder jede beliebige Gleichung Schritt für Schritt mit dem Gleichungslöser, berechne Potenzen mit dem Potenzrechner, arbeite mit Logarithmen und Basiswechsel im Logarithmusrechner und bringe sehr große oder sehr kleine Zahlen mit dem Umrechner für wissenschaftliche Notation in Form.