Algèbre (formules)
Toutes les formules d'algèbre dont vous avez besoin dans un seul tableau organisé — la formule quadratique, les règles des exposants et des logarithmes, la factorisation et les identités remarquables, les radicaux, les droites et la distance, et les nombres complexes — avec des liens en un clic vers notre résolveur d'équations interactif et nos calculatrices pour traiter votre propre problème immédiatement.
Équation du second degré
- x (for ax²+bx+c=0)=(−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D=b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots=−b/a
- Product of roots=c/a
- Vertex x=−b/2a
Règles des exposants
- aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ
- a⁰=1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ=1/aⁿ
- a^(1/n)=ⁿ√a
- a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ)
Propriétés des logarithmes
- logₐ(xy)=logₐx + logₐy
- logₐ(x/y)=logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ)=n·logₐx
- logₐa=1
- logₐ1=0
- logₐx=ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx)=x
Factorisation et identités remarquables
- a² − b²=(a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b²=(a+b)²
- a² − 2ab + b²=(a−b)²
- a³ + b³=(a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³=(a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³
Radicaux
- √(ab)=√a·√b
- √(a/b)=√a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ)=a^(m/n)
- √a·√a=a (a ≥ 0)
- a/√b=a√b/b (rationalize)
Droites et distance
- slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept=y = mx + b
- point-slope=y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Nombres complexes
- i²=−1
- (a+bi) + (c+di)=(a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di)=(ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi|=√(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi)=a²+b²
Ce sont les identités algébriques standard. Chacune est vraie pour toutes les valeurs admissibles, vous pouvez donc la vérifier en substituant des nombres — par exemple, a²−b² = (a+b)(a−b) avec a=5, b=3 donne 16 = 8·2. ✓
Équation du second degré
- x (for ax²+bx+c=0) = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D = b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots = −b/a
- Product of roots = c/a
- Vertex x = −b/2a
Règles des exposants
- aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(1/n) = ⁿ√a
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
Propriétés des logarithmes
- logₐ(xy) = logₐx + logₐy
- logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ) = n·logₐx
- logₐa = 1
- logₐ1 = 0
- logₐx = ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx) = x
Factorisation et identités remarquables
- a² − b² = (a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b² = (a+b)²
- a² − 2ab + b² = (a−b)²
- a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³
Radicaux
- √(ab) = √a·√b
- √(a/b) = √a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
- √a·√a = a (a ≥ 0)
- a/√b = a√b/b (rationalize)
Droites et distance
- slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept = y = mx + b
- point-slope = y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Nombres complexes
- i² = −1
- (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi| = √(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi) = a²+b²
À propos de la référence d'algèbre
Voici l'aide-mémoire d'algèbre auquel les élèves recourent le plus : la formule quadratique, les règles des exposants et des logarithmes, les identités de factorisation et les identités remarquables, les radicaux, les équations de droites avec distance et milieu, et les bases des nombres complexes — organisés exactement comme ils sont enseignés. Parcourez les cartes par thème : la formule quadratique x = (−b ± √(b²−4ac))/2a avec le discriminant D = b²−4ac ainsi que la somme et le produit des racines ; les sept lois des exposants (aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ et plus) ; les propriétés des logarithmes (logₐ(xy) = logₐx + logₐy, la règle de la puissance et le changement de base) ; les identités de factorisation, dont la différence de deux carrés a²−b² = (a+b)(a−b) et la somme et la différence de cubes ; les règles des radicaux et la rationalisation ; la pente, la forme pente-ordonnée à l'origine, la forme point-pente, la distance et le milieu ; et l'arithmétique des nombres complexes avec le module et le conjugué. Chaque formule est écrite en notation Unicode claire — pas d'images — afin qu'elle se copie proprement dans vos notes et soit facile à lire pour les technologies d'assistance et l'IA. Ce qui distingue cette page d'un PDF statique, c'est qu'elle est reliée aux calculatrices interactives de UnitConv : lorsque vous trouvez la formule qu'il vous faut, touchez « Résoudre une équation du second degré », « Calculatrice d'exposants » ou « Calculatrice de logarithmes » pour ouvrir nos outils étape par étape et traiter votre problème réel. Utilisez-la comme référence pour les devoirs, comme liste de révision pour les examens ou pour une recherche rapide pendant que vous travaillez sur une série d'exercices d'algèbre.
Comment utiliser cette référence
- 1 Trouvez le thème dont vous avez besoin dans les cartes regroupées — équation du second degré, exposants, logarithmes, factorisation, radicaux, droites ou nombres complexes.
- 2 Copiez la formule en notation Unicode claire directement dans votre travail, ou vérifiez votre propre résultat par rapport à elle.
- 3 Touchez « Résoudre une équation du second degré », « Calculatrice d'exposants » ou « Calculatrice de logarithmes » pour ouvrir l'outil interactif et utiliser vos propres nombres.
Comment ces formules d'algèbre s'articulent
La majeure partie de l'algèbre est construite à partir d'une poignée d'identités que vous pouvez toujours vérifier par substitution. La formule quadratique x = (−b ± √(b²−4ac))/2a provient de la mise sous forme canonique de ax²+bx+c = 0, et son discriminant D = b²−4ac vous indique la nature des racines (deux réelles, une double, ou une paire complexe conjuguée) avant même de résoudre. Les lois des exposants et les propriétés des logarithmes sont les deux faces d'une même pièce — parce qu'un logarithme est la réciproque d'une exponentielle, logₐ(xy) = logₐx + logₐy est exactement l'énoncé selon lequel aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Les identités remarquables et de factorisation sont la même équation lue dans les deux sens : développer (a+b)(a−b) donne a²−b², et factoriser a²−b² donne (a+b)(a−b). Les formules de la droite découlent toutes de la pente m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), et la formule de la distance n'est que le théorème de Pythagore appliqué aux différences de coordonnées. Les nombres complexes étendent tout cela en définissant i² = −1, ce qui rend toute équation du second degré résoluble. Comme chacune de ces relations est une identité, vous pouvez la confirmer numériquement : choisissez n'importe quels a et b et vérifiez, par exemple, que a³−b³ vaut bien (a−b)(a²+ab+b²).
Foire aux questions
Qu'est-ce que la formule quadratique et quand l'utiliser ?
La formule quadratique résout toute équation de la forme ax²+bx+c = 0 : x = (−b ± √(b²−4ac))/2a. Utilisez-la chaque fois qu'une équation du second degré ne se factorise pas facilement. La quantité sous la racine, le discriminant D = b²−4ac, vous dit à quoi vous attendre : D > 0 donne deux solutions réelles distinctes, D = 0 donne une solution réelle double, et D < 0 donne une paire de solutions complexes conjuguées. Par exemple, x²−5x+6 = 0 donne x = (5 ± √1)/2 = {3, 2}.
Quelles sont les règles des exposants à mémoriser ?
Les lois fondamentales sont la règle du produit aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, la règle du quotient aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, la règle de la puissance (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, et les règles de distribution (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ et (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Ajoutez les cas particuliers a⁰ = 1 (pour a ≠ 0), l'exposant négatif a⁻ⁿ = 1/aⁿ, et les exposants fractionnaires a^(1/n) = ⁿ√a et a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Ensemble, elles vous permettent de simplifier toute expression comportant des puissances et des racines.
Comment les propriétés des logarithmes sont-elles liées aux règles des exposants ?
Un logarithme est la réciproque d'une exponentielle, donc chaque propriété du logarithme reflète une loi des exposants. Parce que aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, prendre le logarithme transforme la multiplication en addition : logₐ(xy) = logₐx + logₐy. De même, logₐ(x/y) = logₐx − logₐy reflète la règle du quotient, et logₐ(xⁿ) = n·logₐx reflète la règle de la puissance. La formule de changement de base logₐx = ln x / ln a vous permet de calculer n'importe quel logarithme sur une calculatrice qui n'a que ln ou log₁₀.
Qu'est-ce que la différence de deux carrés et pourquoi est-elle si utile ?
La différence de deux carrés est l'identité a²−b² = (a+b)(a−b). C'est l'un des schémas de factorisation les plus utiles, car il transforme une soustraction de deux carrés parfaits en un produit que vous pouvez simplifier ou éliminer — par exemple, x²−9 = (x+3)(x−3). Elle est aussi à la base de la rationalisation des dénominateurs avec le conjugué : multiplier par (a−b)/(a−b) supprime un radical car (a+√b)(a−√b) = a²−b. La somme et la différence de cubes apparentées, a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²), étendent la même idée aux puissances troisièmes.
Outils associés
Transformez n'importe laquelle de ces formules en une solution détaillée sur UnitConv : résolvez une équation du second degré ou toute équation étape par étape avec le résolveur d'équations, évaluez des puissances avec la calculatrice d'exposants, travaillez avec les logarithmes et le changement de base grâce à la calculatrice de logarithmes, et mettez en forme des nombres très grands ou très petits avec le convertisseur de notation scientifique.