Álgebra (fórmulas)
Todas las fórmulas de álgebra que necesitas en una tabla organizada — la fórmula cuadrática, las reglas de exponentes y logaritmos, la factorización y los productos notables, los radicales, las rectas y la distancia, y los números complejos — con enlaces de un toque a nuestro resolvedor de ecuaciones interactivo y a las calculadoras para que trabajes tu propio problema de inmediato.
Ecuación cuadrática
- x (for ax²+bx+c=0)=(−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D=b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots=−b/a
- Product of roots=c/a
- Vertex x=−b/2a
Reglas de los exponentes
- aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ
- a⁰=1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ=1/aⁿ
- a^(1/n)=ⁿ√a
- a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ)
Propiedades de los logaritmos
- logₐ(xy)=logₐx + logₐy
- logₐ(x/y)=logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ)=n·logₐx
- logₐa=1
- logₐ1=0
- logₐx=ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx)=x
Factorización y productos notables
- a² − b²=(a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b²=(a+b)²
- a² − 2ab + b²=(a−b)²
- a³ + b³=(a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³=(a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³
Radicales
- √(ab)=√a·√b
- √(a/b)=√a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ)=a^(m/n)
- √a·√a=a (a ≥ 0)
- a/√b=a√b/b (rationalize)
Rectas y distancia
- slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept=y = mx + b
- point-slope=y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Números complejos
- i²=−1
- (a+bi) + (c+di)=(a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di)=(ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi|=√(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi)=a²+b²
Estas son las identidades algebraicas estándar. Cada una se cumple para todos los valores admisibles, así que puedes comprobarla sustituyendo números — por ejemplo, a²−b² = (a+b)(a−b) con a=5, b=3 da 16 = 8·2. ✓
Ecuación cuadrática
- x (for ax²+bx+c=0) = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D = b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots = −b/a
- Product of roots = c/a
- Vertex x = −b/2a
Reglas de los exponentes
- aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(1/n) = ⁿ√a
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
Propiedades de los logaritmos
- logₐ(xy) = logₐx + logₐy
- logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ) = n·logₐx
- logₐa = 1
- logₐ1 = 0
- logₐx = ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx) = x
Factorización y productos notables
- a² − b² = (a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b² = (a+b)²
- a² − 2ab + b² = (a−b)²
- a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³
Radicales
- √(ab) = √a·√b
- √(a/b) = √a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
- √a·√a = a (a ≥ 0)
- a/√b = a√b/b (rationalize)
Rectas y distancia
- slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept = y = mx + b
- point-slope = y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Números complejos
- i² = −1
- (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi| = √(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi) = a²+b²
Acerca de la referencia de álgebra
Esta es la chuleta de álgebra a la que más recurren los estudiantes: la fórmula cuadrática, las reglas de exponentes y logaritmos, las identidades de factorización y productos notables, los radicales, las ecuaciones de la recta con distancia y punto medio, y los fundamentos de los números complejos — organizados exactamente como se enseñan. Recorre las tarjetas por tema: la fórmula cuadrática x = (−b ± √(b²−4ac))/2a junto con el discriminante D = b²−4ac y la suma y el producto de las raíces; las siete leyes de los exponentes (aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ y más); las propiedades de los logaritmos (logₐ(xy) = logₐx + logₐy, la regla de la potencia y el cambio de base); las identidades de factorización, incluida la diferencia de cuadrados a²−b² = (a+b)(a−b) y la suma y diferencia de cubos; las reglas de los radicales y la racionalización; la pendiente, la forma pendiente-ordenada, la forma punto-pendiente, la distancia y el punto medio; y la aritmética de números complejos con el módulo y el conjugado. Cada fórmula está escrita en notación Unicode clara —sin imágenes— por lo que se copia limpiamente en tus apuntes y es fácil de leer para la tecnología de asistencia y la IA. Lo que distingue esta página de un PDF estático es que está conectada con las calculadoras interactivas de UnitConv: cuando encuentres la fórmula que necesitas, toca «Resolver una cuadrática», «Calculadora de exponentes» o «Calculadora de logaritmos» para abrir nuestras herramientas paso a paso y resolver tu problema real. Úsala como referencia para las tareas, como lista de repaso para los exámenes o como consulta rápida mientras resuelves un conjunto de ejercicios de álgebra.
Cómo usar esta referencia
- 1 Encuentra el tema que necesitas en las tarjetas agrupadas — cuadrática, exponentes, logaritmos, factorización, radicales, rectas o números complejos.
- 2 Copia la fórmula en notación Unicode clara directamente en tu trabajo, o comprueba tu propio resultado con ella.
- 3 Toca «Resolver una cuadrática», «Calculadora de exponentes» o «Calculadora de logaritmos» para abrir la herramienta interactiva y usar tus propios números.
Cómo encajan estas fórmulas de álgebra
La mayor parte del álgebra se construye a partir de un puñado de identidades que siempre puedes verificar por sustitución. La fórmula cuadrática x = (−b ± √(b²−4ac))/2a proviene de completar el cuadrado en ax²+bx+c = 0, y su discriminante D = b²−4ac te dice la naturaleza de las raíces (dos reales, una repetida o un par conjugado complejo) antes incluso de resolver. Las leyes de los exponentes y las propiedades de los logaritmos son dos caras de la misma moneda — como un logaritmo es la inversa de una exponencial, logₐ(xy) = logₐx + logₐy es exactamente la afirmación de que aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Las identidades de productos notables y factorización son la misma ecuación leída en ambas direcciones: desarrollar (a+b)(a−b) da a²−b², y factorizar a²−b² da (a+b)(a−b). Las fórmulas de la recta se derivan todas de la pendiente m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), y la fórmula de la distancia es solo el teorema de Pitágoras aplicado a las diferencias de coordenadas. Los números complejos amplían todo esto al definir i² = −1, que es lo que hace que toda ecuación cuadrática tenga solución. Como cada una de estas es una identidad, puedes confirmarla numéricamente: elige cualesquiera a y b y comprueba, por ejemplo, que a³−b³ realmente es igual a (a−b)(a²+ab+b²).
Preguntas frecuentes
¿Qué es la fórmula cuadrática y cuándo la uso?
La fórmula cuadrática resuelve cualquier ecuación de la forma ax²+bx+c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac))/2a. Úsala siempre que una cuadrática no se factorice bien. La cantidad bajo la raíz, el discriminante D = b²−4ac, te dice qué esperar: D > 0 da dos soluciones reales distintas, D = 0 da una solución real repetida y D < 0 da un par de soluciones complejas conjugadas. Por ejemplo, x²−5x+6 = 0 da x = (5 ± √1)/2 = {3, 2}.
¿Qué reglas de los exponentes necesito memorizar?
Las leyes fundamentales son la regla del producto aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, la regla del cociente aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, la regla de la potencia (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ y las reglas de distribución (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ y (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Añade los casos especiales a⁰ = 1 (para a ≠ 0), el exponente negativo a⁻ⁿ = 1/aⁿ y los exponentes fraccionarios a^(1/n) = ⁿ√a y a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Juntas te permiten simplificar cualquier expresión con potencias y raíces.
¿Cómo se relacionan las propiedades de los logaritmos con las reglas de los exponentes?
Un logaritmo es la inversa de una exponencial, así que cada propiedad de los logaritmos refleja una ley de los exponentes. Como aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, tomar logaritmos convierte la multiplicación en suma: logₐ(xy) = logₐx + logₐy. Del mismo modo, logₐ(x/y) = logₐx − logₐy refleja la regla del cociente, y logₐ(xⁿ) = n·logₐx refleja la regla de la potencia. La fórmula de cambio de base logₐx = ln x / ln a te permite calcular cualquier logaritmo en una calculadora que solo tenga ln o log₁₀.
¿Qué es la diferencia de cuadrados y por qué es tan útil?
La diferencia de cuadrados es la identidad a²−b² = (a+b)(a−b). Es uno de los patrones de factorización más útiles porque convierte una resta de dos cuadrados perfectos en un producto que puedes simplificar o cancelar — por ejemplo, x²−9 = (x+3)(x−3). También es la base de racionalizar denominadores con el conjugado: multiplicar por (a−b)/(a−b) elimina un radical porque (a+√b)(a−√b) = a²−b. La suma y diferencia de cubos relacionadas, a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²), extienden la misma idea a las terceras potencias.
Herramientas relacionadas
Convierte cualquiera de estas fórmulas en una solución resuelta en UnitConv: resuelve una cuadrática o cualquier ecuación paso a paso con el resolvedor de ecuaciones, evalúa potencias con la calculadora de exponentes, trabaja con logaritmos y cambio de base con la calculadora de logaritmos, y ordena números muy grandes o muy pequeños con el conversor de notación científica.