Алгебра (формулы)
Все нужные формулы алгебры в одной упорядоченной таблице — формула корней квадратного уравнения, свойства степеней и логарифмов, разложение на множители и формулы сокращённого умножения, радикалы, прямые и расстояние, а также комплексные числа — со ссылками в одно касание на наш интерактивный решатель уравнений и калькуляторы, чтобы вы сразу приступили к своей задаче.
Квадратное уравнение
- x (for ax²+bx+c=0)=(−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D=b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots=−b/a
- Product of roots=c/a
- Vertex x=−b/2a
Свойства степеней
- aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ
- a⁰=1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ=1/aⁿ
- a^(1/n)=ⁿ√a
- a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ)
Свойства логарифмов
- logₐ(xy)=logₐx + logₐy
- logₐ(x/y)=logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ)=n·logₐx
- logₐa=1
- logₐ1=0
- logₐx=ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx)=x
Разложение на множители и формулы сокращённого умножения
- a² − b²=(a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b²=(a+b)²
- a² − 2ab + b²=(a−b)²
- a³ + b³=(a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³=(a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³
Радикалы
- √(ab)=√a·√b
- √(a/b)=√a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ)=a^(m/n)
- √a·√a=a (a ≥ 0)
- a/√b=a√b/b (rationalize)
Прямые и расстояние
- slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept=y = mx + b
- point-slope=y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Комплексные числа
- i²=−1
- (a+bi) + (c+di)=(a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di)=(ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi|=√(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi)=a²+b²
Это стандартные алгебраические тождества. Каждое из них верно для всех допустимых значений, поэтому его можно проверить подстановкой чисел — например, a²−b² = (a+b)(a−b) при a=5, b=3 даёт 16 = 8·2. ✓
Квадратное уравнение
- x (for ax²+bx+c=0) = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D = b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots = −b/a
- Product of roots = c/a
- Vertex x = −b/2a
Свойства степеней
- aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(1/n) = ⁿ√a
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
Свойства логарифмов
- logₐ(xy) = logₐx + logₐy
- logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ) = n·logₐx
- logₐa = 1
- logₐ1 = 0
- logₐx = ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx) = x
Разложение на множители и формулы сокращённого умножения
- a² − b² = (a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b² = (a+b)²
- a² − 2ab + b² = (a−b)²
- a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³
Радикалы
- √(ab) = √a·√b
- √(a/b) = √a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
- √a·√a = a (a ≥ 0)
- a/√b = a√b/b (rationalize)
Прямые и расстояние
- slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept = y = mx + b
- point-slope = y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Комплексные числа
- i² = −1
- (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi| = √(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi) = a²+b²
О справочнике по алгебре
Это та самая шпаргалка по алгебре, к которой чаще всего обращаются учащиеся: формула корней квадратного уравнения, свойства степеней и логарифмов, тождества разложения на множители и формулы сокращённого умножения, радикалы, уравнения прямых с расстоянием и серединой отрезка, а также основы комплексных чисел — упорядоченные ровно так, как их преподают. Просматривайте карточки по темам: формула x = (−b ± √(b²−4ac))/2a вместе с дискриминантом D = b²−4ac, а также сумма и произведение корней; семь свойств степеней (aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ и другие); свойства логарифмов (logₐ(xy) = logₐx + logₐy, правило степени и переход к новому основанию); тождества разложения, включая разность квадратов a²−b² = (a+b)(a−b), а также сумму и разность кубов; правила действий с радикалами и избавление от иррациональности; угловой коэффициент, уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой через точку и угловой коэффициент, расстояние и середина отрезка; и арифметика комплексных чисел с модулем и сопряжённым. Каждая формула записана в чистой нотации Unicode — без изображений — поэтому она аккуратно копируется в ваши записи и легко читается вспомогательными технологиями и ИИ. Эта страница отличается от статичного PDF тем, что связана с интерактивными калькуляторами UnitConv: найдя нужную формулу, нажмите «Решить квадратное уравнение», «Калькулятор степеней» или «Калькулятор логарифмов», чтобы открыть пошаговые инструменты и решить свою конкретную задачу. Используйте её как справочник для домашних заданий, список для повторения перед экзаменом или быстрый поиск во время работы над набором задач по алгебре.
Как пользоваться этим справочником
- 1 Найдите нужную тему в сгруппированных карточках — квадратное уравнение, степени, логарифмы, разложение на множители, радикалы, прямые или комплексные числа.
- 2 Скопируйте формулу в чистой записи Unicode прямо в свою работу или сверьте с ней собственный результат.
- 3 Нажмите «Решить квадратное уравнение», «Калькулятор степеней» или «Калькулятор логарифмов», чтобы открыть интерактивный инструмент и подставить свои числа.
Как эти формулы алгебры связаны между собой
Бо́льшая часть алгебры строится на нескольких тождествах, которые всегда можно проверить подстановкой. Формула x = (−b ± √(b²−4ac))/2a получается выделением полного квадрата в ax²+bx+c = 0, а её дискриминант D = b²−4ac сообщает характер корней (два действительных, один кратный или пара комплексно-сопряжённых) ещё до того, как вы начнёте решать. Свойства степеней и свойства логарифмов — две стороны одной медали: поскольку логарифм обратен показательной функции, равенство logₐ(xy) = logₐx + logₐy — это ровно утверждение aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Формулы сокращённого умножения и разложения — одно и то же равенство, прочитанное в обе стороны: раскрытие (a+b)(a−b) даёт a²−b², а разложение a²−b² даёт (a+b)(a−b). Все формулы прямой следуют из углового коэффициента m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), а формула расстояния — это просто теорема Пифагора, применённая к разностям координат. Комплексные числа расширяют всё это, определяя i² = −1, благодаря чему любое квадратное уравнение становится разрешимым. Поскольку каждое из этих соотношений — тождество, его можно подтвердить численно: возьмите любые a и b и проверьте, например, что a³−b³ действительно равно (a−b)(a²+ab+b²).
Часто задаваемые вопросы
Что такое формула корней квадратного уравнения и когда её применять?
Эта формула решает любое уравнение вида ax²+bx+c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac))/2a. Применяйте её всякий раз, когда квадратное уравнение не раскладывается на множители красиво. Выражение под корнем — дискриминант D = b²−4ac — подсказывает, чего ожидать: D > 0 даёт два различных действительных корня, D = 0 даёт один кратный действительный корень, а D < 0 даёт пару комплексно-сопряжённых корней. Например, x²−5x+6 = 0 даёт x = (5 ± √1)/2 = {3, 2}.
Какие свойства степеней нужно запомнить?
Основные свойства — правило произведения aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, правило частного aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, правило степени (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ и правила распределения (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ и (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Добавьте частные случаи a⁰ = 1 (при a ≠ 0), отрицательный показатель a⁻ⁿ = 1/aⁿ и дробные показатели a^(1/n) = ⁿ√a и a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Вместе они позволяют упростить любое выражение со степенями и корнями.
Как свойства логарифмов связаны со свойствами степеней?
Логарифм обратен показательной функции, поэтому каждое свойство логарифма отражает свойство степени. Так как aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, взятие логарифма превращает умножение в сложение: logₐ(xy) = logₐx + logₐy. Аналогично logₐ(x/y) = logₐx − logₐy отражает правило частного, а logₐ(xⁿ) = n·logₐx отражает правило степени. Формула перехода к новому основанию logₐx = ln x / ln a позволяет вычислить любой логарифм на калькуляторе, где есть только ln или log₁₀.
Что такое разность квадратов и почему она так полезна?
Разность квадратов — это тождество a²−b² = (a+b)(a−b). Это один из самых полезных приёмов разложения, потому что он превращает вычитание двух полных квадратов в произведение, которое можно упростить или сократить — например, x²−9 = (x+3)(x−3). Оно же лежит в основе избавления от иррациональности в знаменателе с помощью сопряжённого: умножение на (a−b)/(a−b) убирает радикал, потому что (a+√b)(a−√b) = a²−b. Связанные сумма и разность кубов, a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²), распространяют ту же идею на третьи степени.
Связанные инструменты
Превратите любую из этих формул в готовое решение на UnitConv: решите квадратное или любое уравнение пошагово с помощью решателя уравнений, вычислите степени в калькуляторе степеней, работайте с логарифмами и переходом к новому основанию в калькуляторе логарифмов и приведите в порядок очень большие или очень малые числа в конвертере научной записи.