الجبر (صيغ)
كل صيغة جبر تحتاجها في جدول واحد منظّم — القانون العام للمعادلة التربيعية، وقواعد الأسس واللوغاريتمات، والتحليل إلى عوامل والمتطابقات الشهيرة، والجذور، والمستقيمات والمسافة، والأعداد المركّبة — مع روابط بلمسة واحدة إلى حلّال المعادلات التفاعلي والحاسبات لتعمل على مسألتك الخاصة فورًا.
المعادلة التربيعية
- x (for ax²+bx+c=0)=(−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D=b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots=−b/a
- Product of roots=c/a
- Vertex x=−b/2a
قواعد الأسس
- aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ
- a⁰=1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ=1/aⁿ
- a^(1/n)=ⁿ√a
- a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ)
خصائص اللوغاريتمات
- logₐ(xy)=logₐx + logₐy
- logₐ(x/y)=logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ)=n·logₐx
- logₐa=1
- logₐ1=0
- logₐx=ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx)=x
التحليل إلى عوامل والمتطابقات الشهيرة
- a² − b²=(a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b²=(a+b)²
- a² − 2ab + b²=(a−b)²
- a³ + b³=(a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³=(a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³
الجذور
- √(ab)=√a·√b
- √(a/b)=√a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ)=a^(m/n)
- √a·√a=a (a ≥ 0)
- a/√b=a√b/b (rationalize)
المستقيمات والمسافة
- slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept=y = mx + b
- point-slope=y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
الأعداد المركّبة
- i²=−1
- (a+bi) + (c+di)=(a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di)=(ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi|=√(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi)=a²+b²
هذه هي المتطابقات الجبرية القياسية. كل واحدة منها تصحّ لجميع القيم المسموح بها، لذا يمكنك التحقق منها بالتعويض بأرقام — مثلًا a²−b² = (a+b)(a−b) عند a=5، b=3 تُعطي 16 = 8·2. ✓
المعادلة التربيعية
- x (for ax²+bx+c=0) = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D = b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots = −b/a
- Product of roots = c/a
- Vertex x = −b/2a
قواعد الأسس
- aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(1/n) = ⁿ√a
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
خصائص اللوغاريتمات
- logₐ(xy) = logₐx + logₐy
- logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ) = n·logₐx
- logₐa = 1
- logₐ1 = 0
- logₐx = ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx) = x
التحليل إلى عوامل والمتطابقات الشهيرة
- a² − b² = (a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b² = (a+b)²
- a² − 2ab + b² = (a−b)²
- a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³
الجذور
- √(ab) = √a·√b
- √(a/b) = √a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
- √a·√a = a (a ≥ 0)
- a/√b = a√b/b (rationalize)
المستقيمات والمسافة
- slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept = y = mx + b
- point-slope = y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
الأعداد المركّبة
- i² = −1
- (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi| = √(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi) = a²+b²
حول مرجع الجبر
هذه هي ورقة مراجعة الجبر التي يلجأ إليها الطلاب أكثر من غيرها: القانون العام للمعادلة التربيعية، وقواعد الأسس واللوغاريتمات، ومتطابقات التحليل والمتطابقات الشهيرة، والجذور، ومعادلات المستقيم مع المسافة ونقطة المنتصف، وأساسيات الأعداد المركّبة — منظّمة تمامًا كما تُدرَّس. تصفّح البطاقات حسب الموضوع: القانون العام x = (−b ± √(b²−4ac))/2a مع المميّز D = b²−4ac ومجموع الجذرين وحاصل ضربهما؛ قوانين الأسس السبعة (aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ، (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ، a⁻ⁿ = 1/aⁿ وغيرها)؛ خصائص اللوغاريتمات (logₐ(xy) = logₐx + logₐy، وقاعدة القوة، وتغيير الأساس)؛ متطابقات التحليل بما فيها فرق المربعين a²−b² = (a+b)(a−b) ومجموع المكعبين والفرق بينهما؛ قواعد الجذور والنسبنة؛ الميل، وصيغة الميل والمقطع، وصيغة النقطة والميل، والمسافة ونقطة المنتصف؛ وحساب الأعداد المركّبة مع المقياس والمرافق. كل صيغة مكتوبة بترميز يونيكود واضح — بلا صور — لتُنسخ بنظافة إلى ملاحظاتك ويسهل على التقنيات المساعدة والذكاء الاصطناعي قراءتها. ما يميّز هذه الصفحة عن ملف PDF ثابت هو أنها موصولة بحاسبات UnitConv التفاعلية: عندما تجد الصيغة التي تحتاجها، انقر على «حل معادلة تربيعية» أو «حاسبة الأسس» أو «حاسبة اللوغاريتمات» لفتح أدواتنا خطوة بخطوة وحل مسألتك الفعلية. استخدمها مرجعًا للواجبات، أو قائمة مراجعة للامتحانات، أو بحثًا سريعًا وأنت تحلّ مجموعة تمارين جبر.
كيفية استخدام هذا المرجع
- 1 ابحث عن الموضوع الذي تحتاجه في البطاقات المجمّعة — المعادلة التربيعية، أو الأسس، أو اللوغاريتمات، أو التحليل، أو الجذور، أو المستقيمات، أو الأعداد المركّبة.
- 2 انسخ الصيغة بترميز يونيكود الواضح مباشرة إلى عملك، أو تحقّق من نتيجتك الخاصة بمقارنتها بها.
- 3 انقر على «حل معادلة تربيعية» أو «حاسبة الأسس» أو «حاسبة اللوغاريتمات» لفتح الأداة التفاعلية والعمل بأرقامك الخاصة.
كيف تترابط صيغ الجبر هذه
يُبنى معظم الجبر من حفنة من المتطابقات التي يمكنك دائمًا التحقق منها بالتعويض. ينبع القانون العام x = (−b ± √(b²−4ac))/2a من إكمال المربع في ax²+bx+c = 0، ويخبرك مميّزه D = b²−4ac بطبيعة الجذور (جذران حقيقيان، أو جذر مكرّر، أو زوج مركّب مرافق) قبل أن تحلّ أصلًا. قوانين الأسس وخصائص اللوغاريتمات وجهان لعملة واحدة — ولأن اللوغاريتم هو معكوس الدالة الأسية، فإن logₐ(xy) = logₐx + logₐy هي بالضبط القول بأن aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. المتطابقات الشهيرة ومتطابقات التحليل هي المعادلة نفسها مقروءة في الاتجاهين: فكّ (a+b)(a−b) يعطي a²−b²، وتحليل a²−b² يعطي (a+b)(a−b). تنبع صيغ المستقيم جميعها من الميل m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)، وصيغة المسافة ما هي إلا نظرية فيثاغورس مطبّقة على فروق الإحداثيات. تُوسّع الأعداد المركّبة كل ذلك بتعريف i² = −1، وهو ما يجعل كل معادلة تربيعية قابلة للحل. ولأن كلًّا منها متطابقة، يمكنك تأكيدها عدديًا: اختر أي a وb وتحقّق مثلًا من أن a³−b³ يساوي فعلًا (a−b)(a²+ab+b²).
الأسئلة الشائعة
ما هو القانون العام للمعادلة التربيعية ومتى أستخدمه؟
يحل القانون العام أي معادلة على الصورة ax²+bx+c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac))/2a. استخدمه كلما تعذّر تحليل المعادلة التربيعية بسهولة. الكمية تحت الجذر، أي المميّز D = b²−4ac، تخبرك بما تتوقعه: D > 0 يعطي حلّين حقيقيين مختلفين، وD = 0 يعطي حلًا حقيقيًا مكرّرًا، وD < 0 يعطي زوجًا من الحلول المركّبة المرافقة. مثلًا، x²−5x+6 = 0 يعطي x = (5 ± √1)/2 = {3, 2}.
ما قواعد الأسس التي يلزمني حفظها؟
القوانين الأساسية هي قاعدة الضرب aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ، وقاعدة القسمة aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ، وقاعدة القوة (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ، وقاعدتا التوزيع (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ و(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. أضف الحالات الخاصة a⁰ = 1 (عندما a ≠ 0)، والأس السالب a⁻ⁿ = 1/aⁿ، والأسس الكسرية a^(1/n) = ⁿ√a وa^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). معًا تمكّنك من تبسيط أي تعبير يتضمن قوى وجذورًا.
كيف ترتبط خصائص اللوغاريتمات بقواعد الأسس؟
اللوغاريتم هو معكوس الدالة الأسية، لذا تعكس كل خاصية لوغاريتمية قانونًا للأسس. لأن aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ، فإن أخذ اللوغاريتم يحوّل الضرب إلى جمع: logₐ(xy) = logₐx + logₐy. وبالمثل logₐ(x/y) = logₐx − logₐy تعكس قاعدة القسمة، وlogₐ(xⁿ) = n·logₐx تعكس قاعدة القوة. تتيح لك صيغة تغيير الأساس logₐx = ln x / ln a حساب أي لوغاريتم على حاسبة لا تحتوي إلا على ln أو log₁₀.
ما هو فرق المربعين ولماذا هو مفيد إلى هذا الحد؟
فرق المربعين هو المتطابقة a²−b² = (a+b)(a−b). وهو من أكثر أنماط التحليل فائدة لأنه يحوّل طرح مربعين كاملين إلى حاصل ضرب يمكنك تبسيطه أو اختصاره — مثلًا x²−9 = (x+3)(x−3). كما أنه أساس نسبنة المقامات باستخدام المرافق: الضرب في (a−b)/(a−b) يزيل الجذر لأن (a+√b)(a−√b) = a²−b. ويوسّع مجموع المكعبين والفرق بينهما المرتبطان به، a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²)، الفكرة نفسها إلى القوى الثالثة.
أدوات ذات صلة
حوّل أيًّا من هذه الصيغ إلى حل مفصّل على UnitConv: حل معادلة تربيعية أو أي معادلة خطوة بخطوة باستخدام حلّال المعادلات، واحسب القوى بحاسبة الأسس، واعمل مع اللوغاريتمات وتغيير الأساس بحاسبة اللوغاريتمات، ونسّق الأعداد الكبيرة جدًا أو الصغيرة جدًا بمحوّل الترميز العلمي.