Álgebra (fórmulas)
Todas as fórmulas de álgebra de que você precisa em uma tabela organizada — a fórmula quadrática, as regras de expoentes e logaritmos, a fatoração e os produtos notáveis, os radicais, as retas e a distância, e os números complexos — com links de um toque para o nosso resolvedor de equações interativo e as calculadoras, para você resolver o seu próprio problema na hora.
Equação quadrática
- x (for ax²+bx+c=0)=(−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D=b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots=−b/a
- Product of roots=c/a
- Vertex x=−b/2a
Regras dos expoentes
- aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ
- a⁰=1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ=1/aⁿ
- a^(1/n)=ⁿ√a
- a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ)
Propriedades dos logaritmos
- logₐ(xy)=logₐx + logₐy
- logₐ(x/y)=logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ)=n·logₐx
- logₐa=1
- logₐ1=0
- logₐx=ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx)=x
Fatoração e produtos notáveis
- a² − b²=(a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b²=(a+b)²
- a² − 2ab + b²=(a−b)²
- a³ + b³=(a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³=(a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³
Radicais
- √(ab)=√a·√b
- √(a/b)=√a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ)=a^(m/n)
- √a·√a=a (a ≥ 0)
- a/√b=a√b/b (rationalize)
Retas e distância
- slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept=y = mx + b
- point-slope=y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Números complexos
- i²=−1
- (a+bi) + (c+di)=(a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di)=(ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi|=√(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi)=a²+b²
Estas são as identidades algébricas padrão. Cada uma vale para todos os valores admissíveis, então você pode verificá-la substituindo números — por exemplo, a²−b² = (a+b)(a−b) com a=5, b=3 dá 16 = 8·2. ✓
Equação quadrática
- x (for ax²+bx+c=0) = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D = b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots = −b/a
- Product of roots = c/a
- Vertex x = −b/2a
Regras dos expoentes
- aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(1/n) = ⁿ√a
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
Propriedades dos logaritmos
- logₐ(xy) = logₐx + logₐy
- logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ) = n·logₐx
- logₐa = 1
- logₐ1 = 0
- logₐx = ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx) = x
Fatoração e produtos notáveis
- a² − b² = (a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b² = (a+b)²
- a² − 2ab + b² = (a−b)²
- a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³
Radicais
- √(ab) = √a·√b
- √(a/b) = √a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
- √a·√a = a (a ≥ 0)
- a/√b = a√b/b (rationalize)
Retas e distância
- slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept = y = mx + b
- point-slope = y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Números complexos
- i² = −1
- (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi| = √(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi) = a²+b²
Sobre a referência de álgebra
Este é o resumo de álgebra que os estudantes mais consultam: a fórmula quadrática, as regras de expoentes e logaritmos, as identidades de fatoração e produtos notáveis, os radicais, as equações da reta com distância e ponto médio, e os fundamentos dos números complexos — organizados exatamente como são ensinados. Percorra os cartões por tema: a fórmula quadrática x = (−b ± √(b²−4ac))/2a junto com o discriminante D = b²−4ac e a soma e o produto das raízes; as sete leis dos expoentes (aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ e mais); as propriedades dos logaritmos (logₐ(xy) = logₐx + logₐy, a regra da potência e a mudança de base); as identidades de fatoração, incluindo a diferença de quadrados a²−b² = (a+b)(a−b) e a soma e diferença de cubos; as regras dos radicais e a racionalização; a inclinação, a forma reduzida, a forma ponto-inclinação, a distância e o ponto médio; e a aritmética de números complexos com o módulo e o conjugado. Cada fórmula está escrita em notação Unicode clara — sem imagens — de modo que se copia limpamente para as suas anotações e é fácil de ler para tecnologias assistivas e IA. O que distingue esta página de um PDF estático é que ela está conectada às calculadoras interativas do UnitConv: quando você encontrar a fórmula de que precisa, toque em «Resolver uma quadrática», «Calculadora de expoentes» ou «Calculadora de logaritmos» para abrir nossas ferramentas passo a passo e resolver o seu problema real. Use-a como referência para as tarefas, como lista de revisão para provas ou como consulta rápida enquanto resolve uma lista de exercícios de álgebra.
Como usar esta referência
- 1 Encontre o tema de que você precisa nos cartões agrupados — quadrática, expoentes, logaritmos, fatoração, radicais, retas ou números complexos.
- 2 Copie a fórmula em notação Unicode clara diretamente para o seu trabalho, ou confira o seu próprio resultado com ela.
- 3 Toque em «Resolver uma quadrática», «Calculadora de expoentes» ou «Calculadora de logaritmos» para abrir a ferramenta interativa e usar os seus próprios números.
Como estas fórmulas de álgebra se encaixam
A maior parte da álgebra é construída a partir de um punhado de identidades que você sempre pode verificar por substituição. A fórmula quadrática x = (−b ± √(b²−4ac))/2a vem de completar o quadrado em ax²+bx+c = 0, e o seu discriminante D = b²−4ac informa a natureza das raízes (duas reais, uma repetida ou um par conjugado complexo) antes mesmo de você resolver. As leis dos expoentes e as propriedades dos logaritmos são dois lados da mesma moeda — como um logaritmo é o inverso de uma exponencial, logₐ(xy) = logₐx + logₐy é exatamente a afirmação de que aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. As identidades de produtos notáveis e fatoração são a mesma equação lida nos dois sentidos: expandir (a+b)(a−b) dá a²−b², e fatorar a²−b² dá (a+b)(a−b). As fórmulas da reta decorrem todas da inclinação m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), e a fórmula da distância é apenas o teorema de Pitágoras aplicado às diferenças de coordenadas. Os números complexos estendem tudo isso ao definir i² = −1, que é o que torna toda equação quadrática resolúvel. Como cada uma delas é uma identidade, você pode confirmá-la numericamente: escolha quaisquer a e b e verifique, por exemplo, que a³−b³ realmente é igual a (a−b)(a²+ab+b²).
Perguntas frequentes
O que é a fórmula quadrática e quando eu a uso?
A fórmula quadrática resolve qualquer equação da forma ax²+bx+c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac))/2a. Use-a sempre que uma quadrática não fatorar de forma limpa. A quantidade sob a raiz, o discriminante D = b²−4ac, diz o que esperar: D > 0 dá duas soluções reais distintas, D = 0 dá uma solução real repetida e D < 0 dá um par de soluções complexas conjugadas. Por exemplo, x²−5x+6 = 0 dá x = (5 ± √1)/2 = {3, 2}.
Quais são as regras dos expoentes que preciso memorizar?
As leis centrais são a regra do produto aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, a regra do quociente aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, a regra da potência (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, e as regras de distribuição (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ e (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Acrescente os casos especiais a⁰ = 1 (para a ≠ 0), o expoente negativo a⁻ⁿ = 1/aⁿ, e os expoentes fracionários a^(1/n) = ⁿ√a e a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Juntas, elas permitem simplificar qualquer expressão que envolva potências e raízes.
Como as propriedades dos logaritmos se relacionam com as regras dos expoentes?
Um logaritmo é o inverso de uma exponencial, então cada propriedade do logaritmo espelha uma lei dos expoentes. Como aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aplicar o logaritmo transforma multiplicação em adição: logₐ(xy) = logₐx + logₐy. Da mesma forma, logₐ(x/y) = logₐx − logₐy espelha a regra do quociente, e logₐ(xⁿ) = n·logₐx espelha a regra da potência. A fórmula de mudança de base logₐx = ln x / ln a permite calcular qualquer logaritmo em uma calculadora que só tenha ln ou log₁₀.
O que é a diferença de quadrados e por que ela é tão útil?
A diferença de quadrados é a identidade a²−b² = (a+b)(a−b). É um dos padrões de fatoração mais úteis porque transforma uma subtração de dois quadrados perfeitos em um produto que você pode simplificar ou cancelar — por exemplo, x²−9 = (x+3)(x−3). Ela também está por trás da racionalização de denominadores com o conjugado: multiplicar por (a−b)/(a−b) elimina um radical porque (a+√b)(a−√b) = a²−b. A soma e a diferença de cubos relacionadas, a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²), estendem a mesma ideia às terceiras potências.
Ferramentas relacionadas
Transforme qualquer uma dessas fórmulas em uma solução resolvida no UnitConv: resolva uma quadrática ou qualquer equação passo a passo com o resolvedor de equações, avalie potências com a calculadora de expoentes, trabalhe com logaritmos e mudança de base usando a calculadora de logaritmos, e organize números muito grandes ou muito pequenos com o conversor de notação científica.