Aljabar (rumus)
Setiap rumus aljabar yang Anda butuhkan dalam satu tabel yang tertata — rumus kuadrat, aturan eksponen dan logaritma, pemfaktoran dan hasil kali istimewa, bentuk akar, garis dan jarak, serta bilangan kompleks — dengan tautan sekali ketuk ke penyelesai persamaan interaktif dan kalkulator kami sehingga Anda dapat langsung mengerjakan soal Anda sendiri.
Persamaan Kuadrat
- x (for ax²+bx+c=0)=(−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D=b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots=−b/a
- Product of roots=c/a
- Vertex x=−b/2a
Aturan Eksponen
- aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ
- a⁰=1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ=1/aⁿ
- a^(1/n)=ⁿ√a
- a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ)
Sifat Logaritma
- logₐ(xy)=logₐx + logₐy
- logₐ(x/y)=logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ)=n·logₐx
- logₐa=1
- logₐ1=0
- logₐx=ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx)=x
Pemfaktoran & Hasil Kali Istimewa
- a² − b²=(a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b²=(a+b)²
- a² − 2ab + b²=(a−b)²
- a³ + b³=(a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³=(a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³
Bentuk Akar
- √(ab)=√a·√b
- √(a/b)=√a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ)=a^(m/n)
- √a·√a=a (a ≥ 0)
- a/√b=a√b/b (rationalize)
Garis & Jarak
- slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept=y = mx + b
- point-slope=y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Bilangan Kompleks
- i²=−1
- (a+bi) + (c+di)=(a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di)=(ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi|=√(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi)=a²+b²
Ini adalah identitas aljabar standar. Setiap identitas berlaku untuk semua nilai yang diizinkan, sehingga Anda dapat memeriksanya dengan memasukkan angka — misalnya a²−b² = (a+b)(a−b) pada a=5, b=3 menghasilkan 16 = 8·2. ✓
Persamaan Kuadrat
- x (for ax²+bx+c=0) = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D = b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots = −b/a
- Product of roots = c/a
- Vertex x = −b/2a
Aturan Eksponen
- aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(1/n) = ⁿ√a
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
Sifat Logaritma
- logₐ(xy) = logₐx + logₐy
- logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ) = n·logₐx
- logₐa = 1
- logₐ1 = 0
- logₐx = ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx) = x
Pemfaktoran & Hasil Kali Istimewa
- a² − b² = (a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b² = (a+b)²
- a² − 2ab + b² = (a−b)²
- a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³
Bentuk Akar
- √(ab) = √a·√b
- √(a/b) = √a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
- √a·√a = a (a ≥ 0)
- a/√b = a√b/b (rationalize)
Garis & Jarak
- slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept = y = mx + b
- point-slope = y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Bilangan Kompleks
- i² = −1
- (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi| = √(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi) = a²+b²
Tentang referensi aljabar
Inilah lembar contekan aljabar yang paling sering diandalkan siswa: rumus kuadrat, aturan eksponen dan logaritma, identitas pemfaktoran dan hasil kali istimewa, bentuk akar, persamaan garis dengan jarak dan titik tengah, serta dasar-dasar bilangan kompleks — ditata persis seperti cara pengajarannya. Telusuri kartu menurut topik: rumus kuadrat x = (−b ± √(b²−4ac))/2a bersama diskriminan D = b²−4ac serta jumlah dan hasil kali akar-akar; tujuh hukum eksponen (aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ dan lainnya); sifat logaritma (logₐ(xy) = logₐx + logₐy, aturan pangkat, dan pengubahan basis); identitas pemfaktoran termasuk selisih kuadrat a²−b² = (a+b)(a−b) serta jumlah dan selisih pangkat tiga; aturan bentuk akar dan perasionalan; gradien, bentuk gradien-titik potong, bentuk titik-gradien, jarak dan titik tengah; serta aritmetika bilangan kompleks dengan modulus dan konjugat. Setiap rumus ditulis dalam notasi Unicode yang rapi — tanpa gambar — sehingga tersalin dengan bersih ke catatan Anda dan mudah dibaca oleh teknologi bantu dan AI. Yang membedakan halaman ini dari PDF statis adalah keterhubungannya dengan kalkulator interaktif UnitConv: saat Anda menemukan rumus yang dibutuhkan, ketuk «Selesaikan persamaan kuadrat», «Kalkulator eksponen», atau «Kalkulator logaritma» untuk membuka alat langkah demi langkah kami dan menghitung soal nyata Anda. Gunakan sebagai referensi pekerjaan rumah, daftar ulasan ujian, atau pencarian cepat saat Anda mengerjakan sekumpulan soal aljabar.
Cara menggunakan referensi ini
- 1 Temukan topik yang Anda butuhkan pada kartu yang dikelompokkan — kuadrat, eksponen, logaritma, pemfaktoran, bentuk akar, garis, atau bilangan kompleks.
- 2 Salin rumus dalam notasi Unicode yang rapi langsung ke pekerjaan Anda, atau cocokkan hasil Anda sendiri dengannya.
- 3 Ketuk «Selesaikan persamaan kuadrat», «Kalkulator eksponen», atau «Kalkulator logaritma» untuk membuka alat interaktif dan menghitung dengan angka Anda sendiri.
Bagaimana rumus-rumus aljabar ini saling terkait
Sebagian besar aljabar dibangun dari segelintir identitas yang selalu dapat Anda verifikasi melalui substitusi. Rumus kuadrat x = (−b ± √(b²−4ac))/2a berasal dari melengkapkan kuadrat pada ax²+bx+c = 0, dan diskriminannya D = b²−4ac memberi tahu Anda sifat akar-akarnya (dua real, satu berulang, atau sepasang konjugat kompleks) bahkan sebelum Anda menyelesaikannya. Hukum eksponen dan sifat logaritma adalah dua sisi dari mata uang yang sama — karena logaritma adalah kebalikan dari eksponensial, logₐ(xy) = logₐx + logₐy persis merupakan pernyataan bahwa aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Identitas hasil kali istimewa dan pemfaktoran adalah persamaan yang sama dibaca dalam dua arah: menjabarkan (a+b)(a−b) menghasilkan a²−b², dan memfaktorkan a²−b² menghasilkan (a+b)(a−b). Semua rumus garis mengikuti gradien m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), dan rumus jarak hanyalah teorema Pythagoras yang diterapkan pada selisih koordinat. Bilangan kompleks memperluas semua ini dengan mendefinisikan i² = −1, yang membuat setiap persamaan kuadrat dapat diselesaikan. Karena masing-masing adalah identitas, Anda dapat memastikannya secara numerik: pilih sembarang a dan b lalu periksa, misalnya, bahwa a³−b³ memang sama dengan (a−b)(a²+ab+b²).
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa itu rumus kuadrat dan kapan saya menggunakannya?
Rumus kuadrat menyelesaikan setiap persamaan berbentuk ax²+bx+c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac))/2a. Gunakan kapan pun sebuah persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan dengan rapi. Nilai di bawah akar, yaitu diskriminan D = b²−4ac, memberi tahu apa yang bisa diharapkan: D > 0 menghasilkan dua akar real berbeda, D = 0 menghasilkan satu akar real berulang, dan D < 0 menghasilkan sepasang akar konjugat kompleks. Misalnya, x²−5x+6 = 0 menghasilkan x = (5 ± √1)/2 = {3, 2}.
Aturan eksponen apa yang perlu saya hafal?
Hukum inti adalah aturan hasil kali aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aturan hasil bagi aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, aturan pangkat (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, serta aturan distribusi (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ dan (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Tambahkan kasus khusus a⁰ = 1 (untuk a ≠ 0), eksponen negatif a⁻ⁿ = 1/aⁿ, dan eksponen pecahan a^(1/n) = ⁿ√a serta a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Bersama-sama, semuanya memungkinkan Anda menyederhanakan setiap bentuk yang melibatkan pangkat dan akar.
Bagaimana sifat logaritma berkaitan dengan aturan eksponen?
Logaritma adalah kebalikan dari eksponensial, jadi setiap sifat logaritma mencerminkan sebuah hukum eksponen. Karena aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, mengambil logaritma mengubah perkalian menjadi penjumlahan: logₐ(xy) = logₐx + logₐy. Demikian pula logₐ(x/y) = logₐx − logₐy mencerminkan aturan hasil bagi, dan logₐ(xⁿ) = n·logₐx mencerminkan aturan pangkat. Rumus pengubahan basis logₐx = ln x / ln a memungkinkan Anda menghitung logaritma apa pun pada kalkulator yang hanya memiliki ln atau log₁₀.
Apa itu selisih kuadrat dan mengapa begitu berguna?
Selisih kuadrat adalah identitas a²−b² = (a+b)(a−b). Ini salah satu pola pemfaktoran paling berguna karena mengubah pengurangan dua kuadrat sempurna menjadi hasil kali yang dapat Anda sederhanakan atau coret — misalnya x²−9 = (x+3)(x−3). Ini juga mendasari perasionalan penyebut dengan konjugat: mengalikan dengan (a−b)/(a−b) menghilangkan bentuk akar karena (a+√b)(a−√b) = a²−b. Jumlah dan selisih pangkat tiga yang terkait, a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²), memperluas gagasan yang sama ke pangkat tiga.
Alat terkait
Ubah salah satu rumus ini menjadi penyelesaian terperinci di UnitConv: selesaikan persamaan kuadrat atau persamaan apa pun langkah demi langkah dengan penyelesai persamaan, hitung pangkat dengan kalkulator eksponen, kerjakan logaritma dan pengubahan basis dengan kalkulator logaritma, dan rapikan angka yang sangat besar atau sangat kecil dengan pengonversi notasi ilmiah.