대수 공식
필요한 모든 대수 공식을 정리된 표 하나에 담았습니다 — 근의 공식, 지수와 로그 법칙, 인수분해와 곱셈 공식, 근호, 직선과 거리, 복소수 — 인터랙티브 방정식 풀이 도구와 계산기로 바로 연결되는 원터치 링크가 있어 곧바로 자신의 문제를 풀 수 있습니다.
이차방정식
- x (for ax²+bx+c=0)=(−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D=b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots=−b/a
- Product of roots=c/a
- Vertex x=−b/2a
지수 법칙
- aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ
- a⁰=1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ=1/aⁿ
- a^(1/n)=ⁿ√a
- a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ)
로그의 성질
- logₐ(xy)=logₐx + logₐy
- logₐ(x/y)=logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ)=n·logₐx
- logₐa=1
- logₐ1=0
- logₐx=ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx)=x
인수분해와 곱셈 공식
- a² − b²=(a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b²=(a+b)²
- a² − 2ab + b²=(a−b)²
- a³ + b³=(a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³=(a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³
근호
- √(ab)=√a·√b
- √(a/b)=√a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ)=a^(m/n)
- √a·√a=a (a ≥ 0)
- a/√b=a√b/b (rationalize)
직선과 거리
- slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept=y = mx + b
- point-slope=y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
복소수
- i²=−1
- (a+bi) + (c+di)=(a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di)=(ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi|=√(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi)=a²+b²
이것들은 표준적인 대수 항등식입니다. 각 식은 허용되는 모든 값에 대해 성립하므로 숫자를 대입해 확인할 수 있습니다 — 예를 들어 a²−b² = (a+b)(a−b)에 a=5, b=3을 넣으면 16 = 8·2가 됩니다. ✓
이차방정식
- x (for ax²+bx+c=0) = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D = b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots = −b/a
- Product of roots = c/a
- Vertex x = −b/2a
지수 법칙
- aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(1/n) = ⁿ√a
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
로그의 성질
- logₐ(xy) = logₐx + logₐy
- logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ) = n·logₐx
- logₐa = 1
- logₐ1 = 0
- logₐx = ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx) = x
인수분해와 곱셈 공식
- a² − b² = (a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b² = (a+b)²
- a² − 2ab + b² = (a−b)²
- a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³
근호
- √(ab) = √a·√b
- √(a/b) = √a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
- √a·√a = a (a ≥ 0)
- a/√b = a√b/b (rationalize)
직선과 거리
- slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept = y = mx + b
- point-slope = y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
복소수
- i² = −1
- (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi| = √(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi) = a²+b²
대수 공식집에 관하여
이것은 학생들이 가장 많이 찾는 대수 요약표입니다: 근의 공식, 지수와 로그 법칙, 인수분해와 곱셈 공식 항등식, 근호, 거리와 중점을 포함한 직선의 방정식, 그리고 복소수의 기초 — 배우는 순서 그대로 정리했습니다. 주제별 카드를 살펴보세요: 근의 공식 x = (−b ± √(b²−4ac))/2a와 판별식 D = b²−4ac, 그리고 근의 합과 곱; 일곱 가지 지수 법칙(aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ 등); 로그의 성질(logₐ(xy) = logₐx + logₐy, 거듭제곱 법칙과 밑변환); 제곱의 차 a²−b² = (a+b)(a−b)와 세제곱의 합·차를 포함한 인수분해 항등식; 근호 법칙과 유리화; 기울기, 기울기-절편형, 점-기울기형, 거리와 중점; 그리고 절댓값과 켤레를 포함한 복소수 연산. 모든 공식은 이미지가 아니라 깔끔한 유니코드 표기로 작성되어 필기에 그대로 복사되며 보조 기술과 AI가 읽기에도 쉽습니다. 이 페이지가 정적 PDF와 다른 점은 UnitConv의 인터랙티브 계산기와 연결되어 있다는 것입니다: 필요한 공식을 찾으면 "이차방정식 풀기", "지수 계산기", "로그 계산기"를 눌러 단계별 도구를 열고 실제 문제를 계산하세요. 숙제 참고서, 시험 복습 목록, 또는 대수 문제를 푸는 도중의 빠른 조회용으로 활용하세요.
이 참고서 사용법
- 1 그룹화된 카드에서 필요한 주제를 찾으세요 — 이차방정식, 지수, 로그, 인수분해, 근호, 직선 또는 복소수.
- 2 깔끔한 유니코드 표기의 공식을 그대로 작업에 복사하거나, 자신의 결과를 이에 견주어 확인하세요.
- 3 "이차방정식 풀기", "지수 계산기" 또는 "로그 계산기"를 눌러 인터랙티브 도구를 열고 자신의 숫자로 계산하세요.
이 대수 공식들이 어떻게 맞물리는가
대수의 대부분은 언제든 대입으로 확인할 수 있는 몇 가지 항등식에서 만들어집니다. 근의 공식 x = (−b ± √(b²−4ac))/2a는 ax²+bx+c = 0의 완전제곱식 변형에서 나오며, 그 판별식 D = b²−4ac는 풀기도 전에 근의 성질(서로 다른 두 실근, 하나의 중근, 또는 켤레복소근 한 쌍)을 알려 줍니다. 지수 법칙과 로그의 성질은 동전의 양면입니다 — 로그는 지수함수의 역함수이므로 logₐ(xy) = logₐx + logₐy는 정확히 aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ라는 진술입니다. 곱셈 공식과 인수분해 항등식은 같은 등식을 양방향으로 읽은 것입니다: (a+b)(a−b)를 전개하면 a²−b²가 되고, a²−b²를 인수분해하면 (a+b)(a−b)가 됩니다. 직선의 공식들은 모두 기울기 m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)에서 나오고, 거리 공식은 좌표의 차에 피타고라스 정리를 적용한 것일 뿐입니다. 복소수는 i² = −1을 정의함으로써 이 모든 것을 확장하며, 그 덕분에 모든 이차방정식이 풀리게 됩니다. 이들 각각이 항등식이므로 수치로 확인할 수 있습니다: 임의의 a와 b를 골라, 예컨대 a³−b³이 실제로 (a−b)(a²+ab+b²)과 같은지 확인해 보세요.
자주 묻는 질문
근의 공식이란 무엇이며 언제 사용하나요?
근의 공식은 ax²+bx+c = 0 형태의 어떤 방정식이든 풉니다: x = (−b ± √(b²−4ac))/2a. 이차방정식이 깔끔하게 인수분해되지 않을 때 언제든 사용하세요. 근호 안의 값, 즉 판별식 D = b²−4ac가 무엇을 기대할지 알려 줍니다: D > 0이면 서로 다른 두 실근, D = 0이면 하나의 중근, D < 0이면 켤레복소근 한 쌍입니다. 예를 들어 x²−5x+6 = 0은 x = (5 ± √1)/2 = {3, 2}가 됩니다.
외워야 할 지수 법칙은 무엇인가요?
핵심 법칙은 곱의 법칙 aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, 몫의 법칙 aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, 거듭제곱의 법칙 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, 그리고 분배 법칙 (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ와 (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ입니다. 여기에 특수한 경우 a⁰ = 1(a ≠ 0), 음의 지수 a⁻ⁿ = 1/aⁿ, 분수 지수 a^(1/n) = ⁿ√a와 a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)를 더하세요. 이들을 합치면 거듭제곱과 근을 포함한 어떤 식이든 간단히 할 수 있습니다.
로그의 성질은 지수 법칙과 어떻게 관련되나요?
로그는 지수함수의 역함수이므로 모든 로그 성질은 지수 법칙을 반영합니다. aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ이므로 로그를 취하면 곱셈이 덧셈으로 바뀝니다: logₐ(xy) = logₐx + logₐy. 마찬가지로 logₐ(x/y) = logₐx − logₐy는 몫의 법칙을, logₐ(xⁿ) = n·logₐx는 거듭제곱의 법칙을 반영합니다. 밑변환 공식 logₐx = ln x / ln a를 쓰면 ln이나 log₁₀만 있는 계산기로도 어떤 로그든 계산할 수 있습니다.
제곱의 차란 무엇이며 왜 그렇게 유용한가요?
제곱의 차는 항등식 a²−b² = (a+b)(a−b)입니다. 두 완전제곱수의 뺄셈을 간단히 하거나 약분할 수 있는 곱으로 바꾸기 때문에 가장 유용한 인수분해 패턴 중 하나입니다 — 예를 들어 x²−9 = (x+3)(x−3). 또한 켤레를 이용한 분모의 유리화의 바탕이 됩니다: (a−b)/(a−b)를 곱하면 근호가 사라지는데, (a+√b)(a−√b) = a²−b이기 때문입니다. 관련된 세제곱의 합과 차 a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²)은 같은 아이디어를 세제곱으로 확장합니다.
관련 도구
이 공식들 중 무엇이든 UnitConv에서 풀이 완료된 답으로 바꿔 보세요: 방정식 풀이 도구로 이차방정식이나 어떤 방정식이든 단계별로 풀고, 지수 계산기로 거듭제곱을 계산하며, 로그 계산기로 로그와 밑변환을 다루고, 과학적 표기법 변환기로 아주 크거나 아주 작은 수를 정리하세요.