代数公式集
必要な代数の公式をひとつの整理された表に集約 — 二次方程式の解の公式、指数と対数の法則、因数分解と乗法公式、根号、直線と距離、複素数 — インタラクティブな方程式ソルバーと各計算機へのワンタップリンク付きで、すぐに自分の問題に取り組めます。
二次方程式
- x (for ax²+bx+c=0)=(−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D=b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots=−b/a
- Product of roots=c/a
- Vertex x=−b/2a
指数法則
- aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ
- a⁰=1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ=1/aⁿ
- a^(1/n)=ⁿ√a
- a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ)
対数の性質
- logₐ(xy)=logₐx + logₐy
- logₐ(x/y)=logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ)=n·logₐx
- logₐa=1
- logₐ1=0
- logₐx=ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx)=x
因数分解と乗法公式
- a² − b²=(a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b²=(a+b)²
- a² − 2ab + b²=(a−b)²
- a³ + b³=(a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³=(a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³
根号
- √(ab)=√a·√b
- √(a/b)=√a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ)=a^(m/n)
- √a·√a=a (a ≥ 0)
- a/√b=a√b/b (rationalize)
直線と距離
- slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept=y = mx + b
- point-slope=y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
複素数
- i²=−1
- (a+bi) + (c+di)=(a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di)=(ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi|=√(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi)=a²+b²
これらは標準的な代数の恒等式です。すべての等式は許容される値すべてで成り立つので、数を代入して確かめられます — 例えば a²−b² = (a+b)(a−b) に a=5, b=3 を代入すると 16 = 8·2 になります。✓
二次方程式
- x (for ax²+bx+c=0) = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- Discriminant D = b² − 4ac (D>0: 2 real, D=0: 1, D<0: complex)
- Sum of roots = −b/a
- Product of roots = c/a
- Vertex x = −b/2a
指数法則
- aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(1/n) = ⁿ√a
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
対数の性質
- logₐ(xy) = logₐx + logₐy
- logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ) = n·logₐx
- logₐa = 1
- logₐ1 = 0
- logₐx = ln x / ln a (change of base)
- a^(logₐx) = x
因数分解と乗法公式
- a² − b² = (a+b)(a−b)
- a² + 2ab + b² = (a+b)²
- a² − 2ab + b² = (a−b)²
- a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
- a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
- (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
- (a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³
根号
- √(ab) = √a·√b
- √(a/b) = √a/√b (b > 0)
- ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
- √a·√a = a (a ≥ 0)
- a/√b = a√b/b (rationalize)
直線と距離
- slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- slope-intercept = y = mx + b
- point-slope = y − y₁ = m(x − x₁)
- distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
複素数
- i² = −1
- (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
- (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
- |a+bi| = √(a²+b²)
- conjugate: (a+bi)(a−bi) = a²+b²
代数公式集について
これは学生が最も頼りにする代数のチートシートです。二次方程式の解の公式、指数と対数の法則、因数分解と乗法公式の恒等式、根号、距離と中点を含む直線の方程式、複素数の基礎を、授業で教わるとおりの並びで整理しました。カードをトピックごとに眺めてください。二次方程式の解の公式 x = (−b ± √(b²−4ac))/2a と判別式 D = b²−4ac、解の和と積。7つの指数法則(aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ、(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ、a⁻ⁿ = 1/aⁿ ほか)。対数の性質(logₐ(xy) = logₐx + logₐy、べき乗の法則、底の変換)。平方の差 a²−b² = (a+b)(a−b) や立方の和差を含む因数分解の恒等式。根号の法則と有理化。傾き、傾き切片形、点傾き形、距離と中点。絶対値と共役を含む複素数の演算。すべての公式は画像ではなく見やすいUnicode表記で書かれているので、ノートにきれいにコピーでき、支援技術やAIも読み取りやすくなっています。このページが静的なPDFと違うのは、UnitConvのインタラクティブな計算機とつながっている点です。必要な公式を見つけたら「二次方程式を解く」「指数計算機」「対数計算機」をタップすれば、ステップ表示のツールが開いて実際の問題を計算できます。宿題のリファレンス、試験前の復習リスト、代数の問題を解いている途中のちょっとした確認に使ってください。
このリファレンスの使い方
- 1 必要なトピックをグループ化されたカードから探します — 二次方程式、指数、対数、因数分解、根号、直線、複素数。
- 2 見やすいUnicode表記の公式をそのまま自分の作業にコピーするか、自分の答えを照合します。
- 3 「二次方程式を解く」「指数計算機」「対数計算機」をタップしてインタラクティブなツールを開き、自分の数値で計算します。
これらの代数公式のつながり
代数の大部分は、代入で必ず検算できる少数の恒等式から組み立てられています。二次方程式の解の公式 x = (−b ± √(b²−4ac))/2a は ax²+bx+c = 0 の平方完成から導かれ、その判別式 D = b²−4ac は解く前から解の性質(相異なる2実解、重解、共役な複素数の対)を教えてくれます。指数法則と対数の性質は同じコインの表裏です — 対数は指数の逆なので、logₐ(xy) = logₐx + logₐy はまさに aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ を言い換えたものです。乗法公式と因数分解の恒等式は同じ等式を両方向に読んだものです。(a+b)(a−b) を展開すると a²−b² になり、a²−b² を因数分解すると (a+b)(a−b) になります。直線の公式はすべて傾き m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) から導かれ、距離の公式は座標の差にピタゴラスの定理を当てはめただけです。複素数は i² = −1 を定義することでこのすべてを拡張し、それによってあらゆる二次方程式が解けるようになります。これらはどれも恒等式なので、数値で確認できます。任意の a と b を選んで、例えば a³−b³ が本当に (a−b)(a²+ab+b²) に等しいか確かめてみてください。
よくある質問
二次方程式の解の公式とは何で、いつ使うのですか?
解の公式は ax²+bx+c = 0 の形のどんな方程式も解きます: x = (−b ± √(b²−4ac))/2a。二次式がきれいに因数分解できないときにいつでも使えます。根号の中の量、判別式 D = b²−4ac が結果を教えてくれます。D > 0 なら相異なる2つの実数解、D = 0 なら1つの重解、D < 0 なら共役な複素数解の対になります。例えば x²−5x+6 = 0 なら x = (5 ± √1)/2 = {3, 2} です。
覚えておくべき指数法則は何ですか?
基本の法則は積の法則 aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ、商の法則 aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ、べき乗の法則 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ、そして分配の法則 (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ と (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ です。特別な場合として a⁰ = 1(a ≠ 0)、負の指数 a⁻ⁿ = 1/aⁿ、分数指数 a^(1/n) = ⁿ√a と a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) を加えます。これらを合わせると、べき乗と根号を含むどんな式も簡約できます。
対数の性質は指数法則とどう関係していますか?
対数は指数の逆なので、対数のすべての性質は指数法則を映したものです。aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ なので、対数をとると掛け算が足し算になります: logₐ(xy) = logₐx + logₐy。同様に logₐ(x/y) = logₐx − logₐy は商の法則を、logₐ(xⁿ) = n·logₐx はべき乗の法則を映します。底の変換公式 logₐx = ln x / ln a を使えば、ln や log₁₀ しかない計算機でも任意の対数を計算できます。
平方の差とは何で、なぜそれほど役立つのですか?
平方の差は恒等式 a²−b² = (a+b)(a−b) です。2つの完全平方の引き算を、簡約したり約分したりできる積に変えるため、最も便利な因数分解のパターンの1つです — 例えば x²−9 = (x+3)(x−3)。共役を使った分母の有理化の基礎にもなっています。(a−b)/(a−b) を掛けると根号が消えます。(a+√b)(a−√b) = a²−b だからです。関連する立方の和と差 a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²) は、同じ考えを3乗に拡張したものです。
関連ツール
これらの公式のどれでも、UnitConv で計算済みの解に変えられます。方程式ソルバーで二次方程式やどんな方程式もステップごとに解き、指数計算機でべき乗を計算し、対数計算機で対数や底の変換を扱い、科学的記数法コンバーターで非常に大きい数や小さい数を整えます。