Matrizenrechner
Matrizen online addieren, subtrahieren, multiplizieren, transponieren, invertieren sowie Determinante, Rang und Spur bestimmen
Operation wählen
Matrix A
Matrix B
Ergebnis
Wähle eine Operation, gib deine Werte ein und klicke auf Berechnen, um das Ergebnis hier zu sehen.
Über dieses Tool
Dieser Matrizenrechner führt die zentralen Operationen der linearen Algebra vollständig in deinem Browser aus. Du kannst Matrizen gleicher Größe addieren und subtrahieren, zwei Matrizen multiplizieren, eine Matrix mit einem Skalar multiplizieren, eine Matrix transponieren und für quadratische Matrizen Determinante, Inverse, Rang und Spur berechnen. Determinanten nutzen die Gauß-Elimination mit Teilpivotisierung und Inverse die Gauß-Jordan-Elimination, sodass die Ergebnisse selbst für größere Matrizen bis 6x6 numerisch stabil bleiben. Ganzzahlige Ergebnisse werden sauber dargestellt und Brüche so gerundet, dass Gleitkomma-Rauschen entfernt wird. Es wird nichts an einen Server gesendet, was es schnell und privat für Hausaufgaben, Prüfungsvorbereitung und schnelle Kontrollen macht.
So geht's
- 1 Wähle die gewünschte Operation, etwa A × B, die Inverse oder die Determinante.
- 2 Lege die Zeilen- und Spaltenzahl für Matrix A fest (und für Matrix B bei Operationen mit zwei Matrizen).
- 3 Gib in jede Zelle eine Zahl ein; leere Zellen werden als Null behandelt.
- 4 Klicke auf Berechnen, um die Ergebnismatrix oder den Skalar zu sehen, und kopiere ihn bei Bedarf.
So funktioniert es
Matrizenaddition und -subtraktion erfolgen elementweise bei Matrizen gleicher Größe. Die Matrizenmultiplikation bildet das Skalarprodukt jeder Zeile von A mit jeder Spalte von B und ist daher nur definiert, wenn die Spaltenzahl von A der Zeilenzahl von B entspricht. Die Determinante wird berechnet, indem die Matrix per Gauß-Elimination auf obere Dreiecksform gebracht und die Pivots multipliziert werden, wobei pro Zeilentausch ein Vorzeichenwechsel verfolgt wird. Die Inverse entsteht durch Gauß-Jordan-Elimination der erweiterten Matrix [A | I]: Wird die linke Seite zur Einheitsmatrix, ist die rechte Seite die Inverse von A. Fällt ein Pivot auf null, ist die Matrix singulär und besitzt keine Inverse. Der Rang ist die Anzahl der von Null verschiedenen Pivotzeilen nach der Zeilenreduktion, und die Spur ist die Summe der Diagonalelemente.
Häufige Fragen
Welche Matrixgrößen werden unterstützt?
Du kannst jede Matrix von 1x1 bis 6x6 verwenden. Addition und Subtraktion erfordern, dass beide Matrizen gleich groß sind, die Multiplikation erfordert, dass die Spalten von A zu den Zeilen von B passen, und Determinante, Inverse, Rang und Spur benötigen eine quadratische Matrix.
Wie wird die Inverse berechnet?
Die Inverse wird per Gauß-Jordan-Elimination der erweiterten Matrix [A | I] mit Teilpivotisierung zur Stabilität berechnet. Wird die linke Hälfte zur Einheitsmatrix reduziert, ist die rechte Hälfte die Inverse. Ist die Matrix singulär (Determinante 0), hat sie keine Inverse, und das Tool weist darauf hin.
Warum zeigt meine Determinante oder Inverse winzige Dezimalstellen?
Gleitkommaarithmetik kann sehr kleine Rundungsfehler verursachen. Dieser Rechner bereinigt dieses Rauschen: Werte innerhalb einer winzigen Toleranz zu einer ganzen Zahl werden auf diese gerundet und Werte nahe null werden exakt null, sodass die Ergebnisse lesbar bleiben.
Was sagt mir der Rang einer Matrix?
Der Rang ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilen (oder Spalten), hier ermittelt durch Zeilenreduktion und Zählen der von Null verschiedenen Pivotzeilen. Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihr Rang ihrer Größe entspricht, sodass der Rang schnell zeigt, ob ein System eine eindeutige Lösung hat.
Werden meine Daten irgendwohin gesendet?
Nein. Jede Berechnung läuft lokal in deinem Browser mit einfacher JavaScript-Arithmetik, deine Matrizen werden also nie hochgeladen. Das Tool funktioniert nach dem Laden der Seite auch offline.
Verwandte Tools und Anwendungen
Matrizen begegnen einem in Mathematik und Naturwissenschaften überall: beim Lösen linearer Gleichungssysteme, bei Transformationen in der Computergrafik, in Statistik und maschinellem Lernen. Kombiniere es mit dem Gleichungslöser für lineare Systeme, dem Funktionsplotter zur Visualisierung von Transformationen und dem Werkzeug für wissenschaftliche Notation, wenn Ergebnisse sehr groß oder sehr klein werden.