Калькулятор размещений и сочетаний

Что такое размещения и сочетания?

Размещения и сочетания — две ключевые идеи комбинаторики. Размещение считает, сколькими способами можно расставить r элементов, выбранных из n, когда порядок важен — первое, второе и третье место в гонке или порядок букв в коде. Сочетание считает, сколькими способами можно выбрать r элементов из n, когда порядок не важен — состав комитета, карточная рука или набор лотерейных чисел. Поскольку порядок игнорируется, каждому сочетанию соответствует r! различных размещений — именно поэтому nCr = nPr ÷ r!. Эти подсчёты лежат в основе теории вероятностей, статистики, бинома Ньютона и множества практических задач — от стойкости пароля до генетики.

Как пользоваться

Введите n — общее число элементов для выбора, и r — сколько выбираете (при 0 ≤ r ≤ n). Калькулятор мгновенно покажет число размещений (nPr) и сочетаний (nCr), используемые факториалы n!, r! и (n − r)!, а также полное пошаговое решение для проверки. Откройте раздел «с повторениями», чтобы увидеть n^r и C(n+r−1, r) для задач, где элементы можно использовать повторно. Все результаты точны даже для больших n.

Формулы

Размещения (порядок важен): nPr = n! ÷ (n − r)!. Сочетания (порядок не важен): nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Например, 5P2 = 5! ÷ 3! = 120 ÷ 6 = 20, а 5C2 = 5! ÷ (2! × 3!) = 120 ÷ 12 = 10. С повторениями размещения равны n^r, а сочетания — C(n+r−1, r). Ключевое свойство — симметрия: nCr = nC(n − r), поэтому 20C10 = 184756 и 52C5 = 2598960.

Как читать результат

nPr показывает, сколько существует различных упорядоченных расстановок; nCr — сколько различных неупорядоченных групп. Так как nCr = nPr ÷ r!, число сочетаний всегда меньше (или равно при r = 0 или 1). Факториалы растут крайне быстро — у 20! уже 19 цифр — поэтому при больших значениях результат показывается как точное целое с компактным научным приближением. При ошибке проверьте, что n и r целые и что r не больше n.

Частые вопросы