Permutations- und Kombinationsrechner

Was sind Permutationen und Kombinationen?

Permutationen und Kombinationen sind die beiden Kernideen des Abzählens. Eine Permutation zählt, auf wie viele Arten man r aus n Elementen anordnen kann, wenn die Reihenfolge zählt — erster, zweiter und dritter Platz in einem Rennen oder die Reihenfolge der Buchstaben in einem Code. Eine Kombination zählt, auf wie viele Arten man r aus n wählen kann, wenn die Reihenfolge nicht zählt — ein Komitee, ein Kartenblatt oder eine Menge Lottozahlen. Da die Reihenfolge ignoriert wird, entspricht jede Kombination r! verschiedenen Permutationen, weshalb genau nCr = nPr ÷ r! gilt. Diese Zählungen tragen Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik, den binomischen Lehrsatz und unzählige Praxisprobleme – von der Passwortstärke bis zur Genetik.

So funktioniert es

Gib n ein, die Gesamtzahl der Elemente zur Auswahl, und r, wie viele du wählst (mit 0 ≤ r ≤ n). Der Rechner zeigt sofort die Anzahl der Permutationen (nPr) und Kombinationen (nCr), die verwendeten Fakultäten n!, r! und (n − r)! sowie die vollständige Einsetzung zum Nachvollziehen. Klappe „mit Wiederholung“ auf, um auch n^r und C(n+r−1, r) für Probleme mit wiederverwendbaren Elementen zu sehen. Alle Ergebnisse sind exakt, auch für große n.

Die Formeln

Permutationen (Reihenfolge zählt): nPr = n! ÷ (n − r)!. Kombinationen (Reihenfolge zählt nicht): nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Zum Beispiel 5P2 = 5! ÷ 3! = 120 ÷ 6 = 20, während 5C2 = 5! ÷ (2! × 3!) = 120 ÷ 12 = 10. Mit Wiederholung sind Permutationen n^r und Kombinationen C(n+r−1, r). Eine zentrale Eigenschaft ist die Symmetrie: nCr = nC(n − r), also 20C10 = 184756 und 52C5 = 2598960.

Das Ergebnis lesen

nPr gibt an, wie viele verschiedene geordnete Anordnungen es gibt; nCr, wie viele verschiedene ungeordnete Gruppen. Da nCr = nPr ÷ r!, ist die Kombinationszahl stets kleiner (oder gleich, wenn r 0 oder 1 ist). Fakultäten wachsen extrem schnell – 20! hat bereits 19 Stellen – daher wird das Ergebnis bei großen Eingaben als exakte Ganzzahl mit kompakter wissenschaftlicher Näherung gezeigt. Bei einem Fehler prüfe, ob n und r ganze Zahlen sind und r nicht größer als n ist.

Häufige Fragen