क्रमचय एवं संचय कैलकुलेटर

क्रमचय और संचय क्या हैं?

क्रमचय और संचय गणना (counting) के दो मूल विचार हैं। क्रमचय गिनता है कि जब क्रम मायने रखता है तो n में से चुने गए r वस्तुओं को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है—दौड़ में पहला, दूसरा और तीसरा स्थान, या किसी कोड में अक्षरों का क्रम। संचय गिनता है कि जब क्रम मायने नहीं रखता तो n में से r वस्तुएँ कितने तरीकों से चुनी जा सकती हैं—समिति बनाना, ताश के पत्तों का एक हाथ, या लॉटरी संख्याओं का समूह। चूँकि क्रम की उपेक्षा होती है, हर संचय r! भिन्न क्रमचयों के बराबर होता है, इसीलिए nCr = nPr ÷ r!। ये गणनाएँ प्रायिकता, सांख्यिकी, द्विपद प्रमेय और पासवर्ड की मजबूती से लेकर आनुवंशिकी तक असंख्य वास्तविक समस्याओं का आधार हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

n दर्ज करें—जिनमें से चुनना है उनकी कुल संख्या, और r—आप कितनी चुनते हैं (0 ≤ r ≤ n)। कैलकुलेटर तुरंत क्रमचय (nPr) और संचय (nCr) की संख्या, प्रयुक्त क्रमगुणन n!, r! और (n − r)!, तथा जाँच के लिए पूरा प्रतिस्थापन हल दिखाता है। 'पुनरावृत्ति के साथ' खोलें तो उन समस्याओं के लिए n^r और C(n+r−1, r) भी देख सकते हैं जहाँ वस्तुओं को दोबारा उपयोग किया जा सके। बड़े n के लिए भी सभी परिणाम सटीक हैं।

सूत्र

क्रमचय (क्रम मायने रखता है): nPr = n! ÷ (n − r)!। संचय (क्रम मायने नहीं रखता): nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)। उदाहरण के लिए 5P2 = 5! ÷ 3! = 120 ÷ 6 = 20, जबकि 5C2 = 5! ÷ (2! × 3!) = 120 ÷ 12 = 10। पुनरावृत्ति की अनुमति हो तो क्रमचय n^r और संचय C(n+r−1, r) होते हैं। एक प्रमुख गुण है सममिति: nCr = nC(n − r), अतः 20C10 = 184756 और 52C5 = 2598960।

परिणाम पढ़ना

nPr बताता है कि कितनी भिन्न क्रमबद्ध व्यवस्थाएँ हैं; nCr बताता है कि कितने भिन्न (बिना क्रम) समूह हैं। चूँकि nCr = nPr ÷ r!, संचय की संख्या हमेशा छोटी होती है (r के 0 या 1 होने पर बराबर)। क्रमगुणन बहुत तेज़ी से बढ़ते हैं—20! में पहले से ही 19 अंक हैं—इसलिए बड़े इनपुट पर परिणाम सटीक पूर्णांक के साथ संक्षिप्त वैज्ञानिक सन्निकटन में दिखाया जाता है। त्रुटि दिखे तो जाँचें कि n और r पूर्णांक हैं और r, n से बड़ा नहीं है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न