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Calculadora de Permutações e Combinações

Calcule nPr e nCr de forma exata com o passo a passo

Número total de itens para escolher.

Quantos itens você seleciona (0 ≤ r ≤ n).

Permutações
5P2
20
A ordem importa (nPr)
Combinações
5C2
10
A ordem não importa (nCr)

Passo a passo

5P2
= 5! ÷ (5−2)!
= 120 ÷ 6
= 20
5C2
= 5! ÷ (2! × (5−2)!)
= 120 ÷ (2 × 6)
= 10
5!
120
2!
2
(5−2)!
6

Fórmulas

nPr = n! ÷ (n − r)!
nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)

Permutações contam arranjos ordenados; combinações contam seleções sem ordem. Usam os mesmos fatoriais, mas as combinações dividem por r! para remover as ordens repetidas.

O que são permutações e combinações?

Permutações e combinações são as duas ideias centrais da contagem. Uma permutação conta de quantas formas você pode arranjar r itens escolhidos de um conjunto de n quando a ordem importa — primeiro, segundo e terceiro lugar numa corrida, ou a ordem das letras de um código. Uma combinação conta de quantas formas você pode escolher r itens de n quando a ordem não importa — formar um comitê, uma mão de cartas ou um conjunto de números de loteria. Como a ordem é ignorada, cada combinação corresponde a r! permutações distintas, e é exatamente por isso que nCr = nPr ÷ r!. Essas contagens sustentam probabilidade, estatística, o teorema binomial e inúmeros problemas reais, da força de uma senha à genética.

Como usar

Insira n, o número total de itens para escolher, e r, quantos você escolhe (com 0 ≤ r ≤ n). A calculadora mostra instantaneamente o número de permutações (nPr) e combinações (nCr), os fatoriais n!, r! e (n − r)! usados, e todo o passo a passo da substituição para conferir. Expanda «com repetição» para ver também n^r e C(n+r−1, r) em problemas em que os itens podem ser reutilizados. Todos os resultados são exatos, mesmo para n grandes.

As fórmulas

Permutações (a ordem importa): nPr = n! ÷ (n − r)!. Combinações (a ordem não importa): nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Por exemplo 5P2 = 5! ÷ 3! = 120 ÷ 6 = 20, enquanto 5C2 = 5! ÷ (2! × 3!) = 120 ÷ 12 = 10. Com repetição, as permutações são n^r e as combinações C(n+r−1, r). Uma propriedade fundamental é a simetria: nCr = nC(n − r), então 20C10 = 184756 e 52C5 = 2598960.

Lendo o resultado

nPr indica quantos arranjos ordenados distintos existem; nCr indica quantos grupos distintos (sem ordem) existem. Como nCr = nPr ÷ r!, o número de combinações é sempre menor (ou igual quando r é 0 ou 1). Os fatoriais crescem muito rápido — 20! já tem 19 dígitos — por isso, com valores grandes, o resultado aparece como inteiro exato com uma aproximação científica compacta. Se surgir um erro, verifique se n e r são inteiros e se r não é maior que n.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre permutação e combinação? ▾

Uma permutação conta arranjos em que a ordem importa (ABC ≠ CBA); uma combinação conta seleções em que a ordem não importa (ABC = CBA). Logo, nPr é sempre pelo menos tão grande quanto nCr.

Como calculo nPr e nCr? ▾

Use nPr = n! ÷ (n − r)! e nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Por exemplo 10P3 = 720 e 10C3 = 120.

Por que 0! é igual a 1? ▾

Há exatamente uma maneira de não organizar nada, então 0! = 1 por definição. Isso mantém coerentes identidades como nC0 = 1 e nCn = 1.

Consegue lidar com números muito grandes? ▾

Sim. A calculadora usa aritmética de inteiros grandes, então fatoriais e contagens além de 20! são calculados de forma exata, com uma aproximação científica para legibilidade.