排列组合计算器

什么是排列和组合？

排列和组合是计数的两个核心概念。排列计算从 n 个项目中选取 r 个并考虑顺序时的方案数——比如比赛的第一、第二、第三名，或密码中字母的顺序。组合计算从 n 个中选取 r 个但不考虑顺序时的方案数——比如选举委员会、一手牌或一组彩票号码。由于忽略顺序，每个组合对应 r! 种不同的排列，这正是 nCr = nPr ÷ r! 的原因。这些计数是概率、统计、二项式定理以及无数实际问题（从密码强度到遗传学）的基础。

使用方法

输入总数 n 和选取数 r（0 ≤ r ≤ n）。计算器会立即显示排列数（nPr）和组合数（nCr）、所用的阶乘 n!、r! 和 (n − r)!，以及从代入到结果的完整分步过程，方便核对。展开“可重复”还可查看可重复使用项目时的 n^r 和 C(n+r−1, r)。即使 n 很大，结果也是精确的。

公式

排列（顺序有关）：nPr = n! ÷ (n − r)!。组合（顺序无关）：nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)。例如 5P2 = 5! ÷ 3! = 120 ÷ 6 = 20，而 5C2 = 5! ÷ (2! × 3!) = 120 ÷ 12 = 10。允许重复时，排列为 n^r，组合为 C(n+r−1, r)。一个重要性质是对称性 nCr = nC(n − r)，因此 20C10 = 184756，52C5 = 2598960。

结果解读

nPr 表示有序排列的总数；nCr 表示无序分组的总数。由于 nCr = nPr ÷ r!，组合数总是更小（当 r 为 0 或 1 时相等）。阶乘增长极快——20! 已有 19 位数字——所以对于较大的输入，结果会以精确整数加上简洁的科学计数法近似值显示。如果出现错误，请检查 n 和 r 是否为整数，以及 r 是否不大于 n。

常见问题