حاسبة التباديل والتوافيق

ما هي التباديل والتوافيق؟

التباديل والتوافيق هما الفكرتان الأساسيتان في العَدّ. يَعُدّ التبديل عدد الطرق لترتيب r عنصرًا مختارًا من n عندما يكون الترتيب مهمًّا — المركز الأول والثاني والثالث في سباق، أو ترتيب الحروف في رمز. ويَعُدّ التوفيق عدد الطرق لاختيار r من n عندما لا يكون الترتيب مهمًّا — تشكيل لجنة، أو يد من الأوراق، أو مجموعة أرقام يانصيب. ولأن الترتيب يُهمَل، يقابل كل توفيق r! من التباديل المختلفة، وهذا بالضبط سبب أن nCr = nPr ÷ r!. تُشكّل هذه الإحصاءات أساس الاحتمالات والإحصاء ومبرهنة ذات الحدين وعدد لا يُحصى من المسائل الواقعية، من قوة كلمة المرور إلى علم الوراثة.

كيفية الاستخدام

أدخل n، العدد الإجمالي للعناصر التي يُختار منها، و r، كم عنصرًا تختار (مع 0 ≤ r ≤ n). تعرض الحاسبة فورًا عدد التباديل (nPr) والتوافيق (nCr)، والمضروب n! و r! و (n − r)! المستخدم، وكامل خطوات التعويض لتتمكن من المراجعة. وسّع «مع التكرار» لترى أيضًا n^r و C(n+r−1, r) للمسائل التي يمكن فيها إعادة استخدام العناصر. جميع النتائج دقيقة حتى لقيم n الكبيرة.

الصيغ

التباديل (الترتيب مهم): nPr = n! ÷ (n − r)!. التوافيق (الترتيب غير مهم): nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). مثلًا 5P2 = 5! ÷ 3! = 120 ÷ 6 = 20، بينما 5C2 = 5! ÷ (2! × 3!) = 120 ÷ 12 = 10. مع السماح بالتكرار تكون التباديل n^r والتوافيق C(n+r−1, r). من الخصائص المهمة التماثل: nCr = nC(n − r)، لذا 20C10 = 184756 و 52C5 = 2598960.

قراءة النتيجة

يخبرك nPr بعدد الترتيبات المرتّبة المختلفة؛ ويخبرك nCr بعدد المجموعات المختلفة (دون ترتيب). بما أن nCr = nPr ÷ r!، فإن عدد التوافيق دائمًا أصغر (أو مساوٍ عندما يكون r صفرًا أو واحدًا). ينمو المضروب بسرعة كبيرة — فـ 20! له 19 رقمًا — لذا تُعرَض النتيجة للمدخلات الكبيرة كعدد صحيح دقيق مع تقريب علمي مختصر. إذا ظهر خطأ، فتأكد من أن n و r عددان صحيحان وأن r ليس أكبر من n.

الأسئلة الشائعة