Calculateur de Permutations et Combinaisons

Que sont les permutations et les combinaisons ?

Les permutations et les combinaisons sont les deux idées centrales du dénombrement. Une permutation compte de combien de façons on peut arranger r éléments choisis parmi n lorsque l'ordre compte — la première, deuxième et troisième place d'une course, ou l'ordre des lettres d'un code. Une combinaison compte de combien de façons on peut choisir r éléments parmi n lorsque l'ordre ne compte pas — composer un comité, une main de cartes ou un ensemble de numéros de loterie. Comme l'ordre est ignoré, chaque combinaison correspond à r! permutations distinctes, ce qui explique nCr = nPr ÷ r!. Ces dénombrements sont au cœur des probabilités, des statistiques, du théorème du binôme et d'innombrables problèmes concrets, de la robustesse d'un mot de passe à la génétique.

Comment l'utiliser

Saisissez n, le nombre total d'éléments parmi lesquels choisir, et r, combien vous en choisissez (avec 0 ≤ r ≤ n). Le calculateur affiche instantanément le nombre de permutations (nPr) et de combinaisons (nCr), les factorielles n!, r! et (n − r)! utilisées, et tout le détail de la substitution pour vérifier le calcul. Dépliez « avec répétition » pour voir aussi n^r et C(n+r−1, r) pour les problèmes où les éléments peuvent être réutilisés. Tous les résultats sont exacts, même pour de grands n.

Les formules

Permutations (l'ordre compte) : nPr = n! ÷ (n − r)!. Combinaisons (l'ordre ne compte pas) : nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Par exemple 5P2 = 5! ÷ 3! = 120 ÷ 6 = 20, tandis que 5C2 = 5! ÷ (2! × 3!) = 120 ÷ 12 = 10. Avec répétition, les permutations valent n^r et les combinaisons C(n+r−1, r). Une propriété clé est la symétrie : nCr = nC(n − r), donc 20C10 = 184756 et 52C5 = 2598960.

Lire le résultat

nPr indique combien d'arrangements ordonnés distincts existent ; nCr indique combien de groupes distincts (sans ordre) existent. Comme nCr = nPr ÷ r!, le nombre de combinaisons est toujours plus petit (ou égal lorsque r vaut 0 ou 1). Les factorielles croissent très vite — 20! a déjà 19 chiffres — donc pour de grandes valeurs le résultat est affiché comme un entier exact avec une approximation scientifique compacte. En cas d'erreur, vérifiez que n et r sont des entiers et que r n'est pas supérieur à n.

Questions fréquentes