nPr과 nCr을 정확히 계산하고 풀이 과정을 표시
선택 대상이 되는 전체 개수.
선택하는 개수 (0 ≤ r ≤ n).
순열은 순서를 구분한 배열의 수, 조합은 순서를 구분하지 않은 선택의 수를 셉니다. 같은 팩토리얼을 쓰지만 조합은 중복되는 순서를 제거하기 위해 r!로 나눕니다.
순열과 조합은 ‘세기’의 두 핵심 개념입니다. 순열은 n개에서 r개를 골라 배열할 때 순서를 구분하는 경우의 수를 셉니다 — 경주의 1·2·3등이나 코드의 글자 순서처럼. 조합은 n개에서 r개를 고를 때 순서를 구분하지 않는 경우의 수를 셉니다 — 위원회 구성, 카드 패, 복권 번호처럼. 순서를 무시하므로 하나의 조합은 r!가지의 서로 다른 순열에 대응하며, 이것이 바로 nCr = nPr ÷ r!인 이유입니다. 이 계산은 확률, 통계, 이항정리는 물론 비밀번호 강도부터 유전학까지 수많은 실제 문제의 토대가 됩니다.
선택 대상의 전체 개수 n과 선택할 개수 r(0 ≤ r ≤ n)을 입력하세요. 순열(nPr)과 조합(nCr)의 수, 계산에 사용된 팩토리얼 n!, r!, (n − r)!, 그리고 대입부터 답까지의 전체 풀이가 즉시 표시됩니다. ‘중복 허용’을 펼치면 항목을 재사용할 수 있는 문제의 n^r과 C(n+r−1, r)도 확인할 수 있습니다. 큰 n에서도 결과는 정확합니다.
순열(순서 구분): nPr = n! ÷ (n − r)!. 조합(순서 비구분): nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). 예를 들어 5P2 = 5! ÷ 3! = 120 ÷ 6 = 20, 5C2 = 5! ÷ (2! × 3!) = 120 ÷ 12 = 10 입니다. 중복을 허용하면 순열은 n^r, 조합은 C(n+r−1, r)입니다. 중요한 성질로 대칭성 nCr = nC(n − r)이 있어 20C10 = 184756, 52C5 = 2598960 입니다.
nPr은 서로 다른 순서 있는 배열의 수, nCr은 서로 다른 순서 없는 그룹의 수를 나타냅니다. nCr = nPr ÷ r!이므로 조합 수는 항상 더 작습니다(r이 0 또는 1일 때만 같음). 팩토리얼은 매우 빠르게 커져 20!은 이미 19자리이므로, 큰 입력에서는 정확한 정수와 함께 간결한 지수 표기 근사값도 표시합니다. 오류가 나면 n과 r이 정수인지, r이 n 이하인지 확인하세요.
순열은 순서를 구분하는 배열(ABC ≠ CBA), 조합은 순서를 구분하지 않는 선택(ABC = CBA)을 셉니다. 따라서 nPr은 항상 nCr 이상입니다.
nPr = n! ÷ (n − r)!, nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) 를 사용합니다. 예를 들어 10P3 = 720, 10C3 = 120 입니다.
아무것도 배열하지 않는 방법은 정확히 한 가지이므로 정의상 0! = 1입니다. 이로써 nC0 = 1, nCn = 1 같은 항등식이 일관됩니다.
네. 큰 정수 연산을 사용하므로 20!을 넘는 팩토리얼과 경우의 수도 정확히 계산하고, 읽기 쉽도록 지수 표기 근사값도 함께 표시합니다.