UnitConv

Kalkulator Permutasi & Kombinasi

Hitung nPr dan nCr secara persis dengan langkah pengerjaan

Jumlah total item yang dapat dipilih.

Berapa item yang Anda pilih (0 ≤ r ≤ n).

Permutasi
5P2
20
Urutan penting (nPr)
Kombinasi
5C2
10
Urutan tidak penting (nCr)

Langkah demi langkah

5P2
= 5! ÷ (5−2)!
= 120 ÷ 6
= 20
5C2
= 5! ÷ (2! × (5−2)!)
= 120 ÷ (2 × 6)
= 10
5!
120
2!
2
(5−2)!
6

Rumus

nPr = n! ÷ (n − r)!
nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)

Permutasi menghitung susunan berurutan; kombinasi menghitung pemilihan tanpa urutan. Keduanya memakai faktorial yang sama, tetapi kombinasi dibagi r! untuk menghapus urutan yang berulang.

Apa itu permutasi dan kombinasi?

Permutasi dan kombinasi adalah dua gagasan inti dalam pencacahan. Permutasi menghitung berapa banyak cara menyusun r item yang dipilih dari n ketika urutan penting — juara satu, dua, dan tiga dalam lomba, atau urutan huruf dalam kode. Kombinasi menghitung berapa banyak cara memilih r item dari n ketika urutan tidak penting — membentuk panitia, satu set kartu, atau sekumpulan nomor lotre. Karena urutan diabaikan, setiap kombinasi bersesuaian dengan r! permutasi berbeda, dan itulah sebabnya nCr = nPr ÷ r!. Pencacahan ini menjadi dasar peluang, statistika, teorema binomial, dan banyak masalah nyata, dari kekuatan kata sandi hingga genetika.

Cara menggunakan

Masukkan n, jumlah total item yang dapat dipilih, dan r, berapa yang Anda pilih (dengan 0 ≤ r ≤ n). Kalkulator langsung menampilkan jumlah permutasi (nPr) dan kombinasi (nCr), faktorial n!, r!, dan (n − r)! yang digunakan, serta seluruh langkah substitusi agar Anda dapat memeriksanya. Buka 'dengan pengulangan' untuk melihat juga n^r dan C(n+r−1, r) pada masalah di mana item boleh digunakan ulang. Semua hasil persis, bahkan untuk n besar.

Rumusnya

Permutasi (urutan penting): nPr = n! ÷ (n − r)!. Kombinasi (urutan tidak penting): nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Misalnya 5P2 = 5! ÷ 3! = 120 ÷ 6 = 20, sedangkan 5C2 = 5! ÷ (2! × 3!) = 120 ÷ 12 = 10. Dengan pengulangan, permutasi adalah n^r dan kombinasi C(n+r−1, r). Sifat penting adalah simetri: nCr = nC(n − r), sehingga 20C10 = 184756 dan 52C5 = 2598960.

Membaca hasil

nPr menyatakan berapa banyak susunan berurutan yang berbeda; nCr menyatakan berapa banyak kelompok berbeda (tanpa urutan). Karena nCr = nPr ÷ r!, jumlah kombinasi selalu lebih kecil (atau sama saat r bernilai 0 atau 1). Faktorial tumbuh sangat cepat — 20! sudah berdigit 19 — sehingga untuk masukan besar hasil ditampilkan sebagai bilangan bulat persis dengan pendekatan ilmiah yang ringkas. Bila muncul kesalahan, pastikan n dan r bilangan bulat dan r tidak lebih besar dari n.

Pertanyaan umum

Apa perbedaan permutasi dan kombinasi? ▾

Permutasi menghitung susunan di mana urutan penting (ABC ≠ CBA); kombinasi menghitung pemilihan di mana urutan tidak penting (ABC = CBA). Karena itu nPr selalu paling tidak sebesar nCr.

Bagaimana menghitung nPr dan nCr? ▾

Gunakan nPr = n! ÷ (n − r)! dan nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Misalnya 10P3 = 720 dan 10C3 = 120.

Mengapa 0! sama dengan 1? ▾

Ada tepat satu cara untuk tidak menyusun apa pun, jadi 0! = 1 menurut definisi. Ini menjaga identitas seperti nC0 = 1 dan nCn = 1 tetap konsisten.

Bisakah menangani angka yang sangat besar? ▾

Bisa. Kalkulator memakai aritmetika bilangan bulat besar, jadi faktorial dan pencacahan di atas 20! dihitung persis, dengan pendekatan ilmiah agar mudah dibaca.