Vom Elektron bis zum ganzen Universum passt alles, was existiert, in ein einziges Dreieck. Zwei seiner Seiten entstehen aus nur drei Konstanten, G, ħ und c: Presst du etwas über sie hinaus, kollabiert es entweder zu einem Schwarzen Loch oder zerfließt in Quantenunschärfe.
Presse die ganze Erde zu einer Kugel von etwa 1,8 cm Durchmesser zusammen, so groß wie eine Murmel, und sie wird zum Schwarzen Loch.
Auf einen Radius von 8,87 mm zusammengepresst, würde es zum Schwarzen Loch.
rs = 2GM/c² · 7,2 × 10⁸-mal kleiner als jetzt
Quelle: NASA Planetary Fact Sheets
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Gib eine Masse und eine Länge ein. Wir tragen die halbe Länge als Radius ein und sagen dir, auf welcher Seite der Grenzen es landet.
Von links nach rechts steigt die Masse in Kilogramm, von unten nach oben die Größe als Radius in Metern. Beide Achsen sind logarithmisch: Jede Zehnerpotenz bekommt gleich viel Platz, sodass das Diagramm 128 Zehnerpotenzen in der Masse und 66 in der Größe überspannt. Wie weit zwei Objekte wirklich auseinanderliegen, verraten dir die Exponenten an den Achsen.
Gerade Linien bedeuten einfache Gesetze. Wächst die Größe im Gleichschritt mit der Masse, steigt die Linie mit Steigung +1; schrumpft die Größe, während die Masse wächst, fällt sie mit Steigung −1; und jede flachere Linie mit Steigung ⅓ steht für eine konstante Dichte, weil das Volumen mit der dritten Potenz des Radius wächst.
r = 2GM/c²
Packst du eine Masse M in ihren Schwarzschild-Radius, entkommt nichts mehr, nicht einmal Licht. Kleiner kann bei gegebener Masse nichts sein, denn es wäre bereits ein Schwarzes Loch. Schwarze Löcher selbst liegen genau auf der Linie.
r = ħ / (Mc)
Nichts lässt sich genauer festlegen als auf seine reduzierte Compton-Wellenlänge: Presst du ein Teilchen in einen noch kleineren Bereich, erzeugt die dafür nötige Energie stattdessen neue Teilchen. Punktteilchen wie das Elektron liegen auf dieser Linie.
r = c / H₀
Die dritte Grenze ist der Hubble-Radius c/H₀: etwa 1,4 × 10²⁶ m oder 14,5 Milliarden Lichtjahre. In dieser Entfernung trägt die Expansion des Raums Galaxien mit Lichtgeschwindigkeit davon. Er gibt die Größenordnung des heutigen Universums an. (Das beobachtbare Universum ist etwa dreimal so groß, denn auch Licht von jenseits des Hubble-Radius kann uns noch erreichen.)
Die Schwarzloch-Linie und die Quantenlinie kreuzen sich bei einer Masse von 1,54 × 10⁻⁸ kg und einem Radius von 2,29 × 10⁻³⁵ m, bis auf einen Faktor √2 bei der Planck-Masse (2,18 × 10⁻⁸ kg) und der Planck-Länge (1,62 × 10⁻³⁵ m). Beide entstehen aus nur drei Naturkonstanten: G, ħ und c. Unterhalb dieses Punkts zählen Gravitation und Quantenmechanik gleichzeitig, und keine überprüfte Theorie sagt, was dort geschieht.
G, ħ und c in der Tabelle der physikalischen Konstanten ansehen →Atome, Regentropfen, Menschen, Gestein und Planeten liegen alle nahe der Linie der Wasserdichte. Gewöhnliche Materie besteht aus dicht an dicht gepackten Atomen und bleibt deshalb vom Molekül bis zum Planeten bis auf etwa einen Faktor zehn bei 1000 kg/m³.
Atomkerne und Neutronensterne teilen sich eine zweite Linie, etwa 10¹⁴-mal dichter. Ein Neutronenstern ist im Grunde ein einziger riesiger Atomkern, zusammengehalten von der Gravitation statt von der starken Wechselwirkung.
Jeder Punkt mit seiner Quelle. Die Größe ist der Radius; bei nicht runden Objekten die halbe größte Abmessung, bei Schwarzen Löchern der Radius des Ereignishorizonts. Die Dichte steht nur bei annähernd runden Objekten.
| Objekt | Masse (kg) | Radius (m) | Mittlere Dichte (kg/m³) | Quelle |
|---|---|---|---|---|
| Teilchen, Kerne & Atome | ||||
| Neutrino (Obergrenze) | < 8,02 × 10⁻³⁷ | > 4,39 × 10⁻⁷ | — | KATRIN Collaboration, Science 388, 180 (2025) — upper limit |
| Elektron | 9,11 × 10⁻³¹ | 3,86 × 10⁻¹³ | — | CODATA 2022 (NIST) |
| Proton | 1,67 × 10⁻²⁷ | 8,41 × 10⁻¹⁶ | 6,72 × 10¹⁷ | CODATA 2022 (NIST) |
| Higgs-Boson | 2,23 × 10⁻²⁵ | 1,58 × 10⁻¹⁸ | — | Particle Data Group, Review of Particle Physics (2024) |
| Urankern | 3,95 × 10⁻²⁵ | 7,44 × 10⁻¹⁵ | 2,29 × 10¹⁷ | K. S. Krane, Introductory Nuclear Physics (R = 1.2 fm × A^1/3) |
| Wasserstoffatom | 1,67 × 10⁻²⁷ | 5,29 × 10⁻¹¹ | 2,7 × 10³ | CODATA 2022 (NIST) |
| Cäsiumatom | 2,21 × 10⁻²⁵ | 2,6 × 10⁻¹⁰ | 3 × 10³ | J. C. Slater, J. Chem. Phys. 41, 3199 (1964) |
| Wassermolekül | 2,99 × 10⁻²⁶ | 1,4 × 10⁻¹⁰ | 2,6 × 10³ | Water: 18.015 u, ≈0.28 nm effective diameter; raindrop = 2 mm drop (1 mm radius) of water |
| Hämoglobin (Protein) | 1,07 × 10⁻²² | 2,75 × 10⁻⁹ | 1,23 × 10³ | R. Milo & R. Phillips, Cell Biology by the Numbers (2015) |
| Leben & Alltägliches | ||||
| Coronavirus (SARS-CoV-2) | 1 × 10⁻¹⁸ | 5 × 10⁻⁸ | 1,91 × 10³ | Bar-On et al., eLife 9, e57309 (2020) |
| E.-coli-Bakterium | 1 × 10⁻¹⁵ | 1 × 10⁻⁶ | — | R. Milo & R. Phillips, Cell Biology by the Numbers (2015) |
| Rotes Blutkörperchen | 1 × 10⁻¹³ | 3,9 × 10⁻⁶ | — | R. Milo & R. Phillips, Cell Biology by the Numbers (2015) |
| Regentropfen | 4,19 × 10⁻⁶ | 1 × 10⁻³ | 1 × 10³ | Water: 18.015 u, ≈0.28 nm effective diameter; raindrop = 2 mm drop (1 mm radius) of water |
| 1-Euro-Cent-Münze | 2,3 × 10⁻³ | 8,13 × 10⁻³ | — | National mint specifications (mass and diameter) |
| Mensch | 73 | 0,88 | — | ICRP Publication 89, reference adult male (73 kg, 176 cm) |
| Blauwal | 1,5 × 10⁵ | 16,8 | — | NOAA Fisheries, Blue whale (up to 110 ft, 330,000 lb) |
| Internationale Raumstation | 4,2 × 10⁵ | 54,5 | — | NASA, International Space Station facts and figures |
| Cheops-Pyramide | 6 × 10⁹ | 163 | — | M. Lehner, The Complete Pyramids (1997) — ≈6 million tonnes, 230 m base (radius = half the 326 m base diagonal) |
| Asteroiden, Monde & Planeten | ||||
| Asteroid Bennu | 7,33 × 10¹⁰ | 245 | 1,19 × 10³ | Lauretta et al., Nature 568, 55 (2019) — OSIRIS-REx |
| Zwergplanet Ceres | 9,38 × 10²⁰ | 4,7 × 10⁵ | 2,16 × 10³ | Park et al., Nature 537, 515 (2016) — Dawn |
| Mond | 7,35 × 10²² | 1,74 × 10⁶ | 3,34 × 10³ | NASA Planetary Fact Sheets |
| Erde | 5,97 × 10²⁴ | 6,37 × 10⁶ | 5,51 × 10³ | NASA Planetary Fact Sheets |
| Jupiter | 1,9 × 10²⁷ | 6,99 × 10⁷ | 1,33 × 10³ | NASA Planetary Fact Sheets |
| Sterne & Sternüberreste | ||||
| Sonne | 1,99 × 10³⁰ | 6,96 × 10⁸ | 1,41 × 10³ | IAU 2015 Resolution B3 (nominal solar values) |
| Sirius A | 4,1 × 10³⁰ | 1,19 × 10⁹ | 581 | Bond et al., ApJ 840, 70 (2017); Kervella et al., A&A 408, 681 (2003) |
| Beteigeuze | 3,58 × 10³¹ | 5,32 × 10¹¹ | 5,69 × 10⁻⁵ | Joyce et al., ApJ 902, 63 (2020) |
| Sirius B (Weißer Zwerg) | 2,02 × 10³⁰ | 5,63 × 10⁶ | 2,7 × 10⁹ | Bond et al., ApJ 840, 70 (2017) — mass and radius |
| Neutronenstern | 4,14 × 10³⁰ | 1,24 × 10⁴ | 5,19 × 10¹⁷ | PSR J0740+6620: Riley et al., ApJL 918, L27 (2021) — radius; Fonseca et al., ApJL 915, L12 (2021) — mass |
| Schwarze Löcher | ||||
| Schwarzes Loch Cygnus X-1 | 4,22 × 10³¹ | 6,26 × 10⁴ | — | Miller-Jones et al., Science 371, 1046 (2021) |
| Sagittarius A* | 8,54 × 10³⁶ | 1,27 × 10¹⁰ | — | GRAVITY Collaboration, A&A 657, L12 (2022) |
| Schwarzes Loch M87* | 1,29 × 10⁴⁰ | 1,92 × 10¹³ | — | Event Horizon Telescope Collaboration, ApJL 875, L6 (2019) |
| Galaxien & das Universum | ||||
| Sonnensystem (bis Neptun) | 1,99 × 10³⁰ | 4,5 × 10¹² | — | NASA Planetary Fact Sheets |
| Milchstraße | 4,18 × 10⁴¹ | 6,48 × 10²⁰ | — | Watkins et al., ApJ 873, 118 (2019) — mass within 21 kpc |
| Galaxienhaufen | 1,99 × 10⁴⁵ | 6,17 × 10²² | — | Kravtsov & Borgani, ARA&A 50, 353 (2012) — typical rich cluster |
| Universum (Hubble-Sphäre) | 9,24 × 10⁵² | 1,37 × 10²⁶ | — | Planck Collaboration, A&A 641, A6 (2020) — H₀ = 67.4 km/s/Mpc |
Der Schwarzschild-Radius der Erde beträgt 2GM/c² = 8,87 mm. Um ein Schwarzes Loch zu werden, müsste der ganze Planet zu einer Kugel von etwa 1,8 cm Durchmesser zusammengepresst werden, ungefähr so groß wie eine Murmel.
Eines mit etwa der Planck-Masse, 2,18 × 10⁻⁸ kg, ungefähr die Masse eines Sandkorns. Alles Leichtere hätte einen Ereignishorizont, der kleiner ist als seine eigene Quantenwellenlänge, und dort verliert der Begriff Schwarzes Loch seinen Sinn. Jedes bisher beobachtete Schwarze Loch hat mindestens einige Sonnenmassen.
Das Universum innerhalb des Hubble-Radius landet auf der Schwarzloch-Linie, weil bei einem flachen Universum mit kritischer Dichte c/H₀ gleich 2GM/c² für die darin enthaltene Masse ist. Ein Schwarzes Loch ist aber Materie, die innerhalb eines größeren Raums kollabiert, während sich das Universum ausdehnt und kein Außen hat. Hier endet der Vergleich.
Experimente haben keine innere Ausdehnung des Elektrons gefunden, daher ist es bei seiner reduzierten Compton-Wellenlänge ħ/(mₑc) = 3,86 × 10⁻¹³ m eingetragen. Unterhalb dieser Skala lässt es sich nicht festlegen, ohne dass die nötige Energie neue Teilchen erzeugt.
Es folgt dem Masse-Größe-Diagramm von Lineweaver und Patel, „All objects and some questions“ (American Journal of Physics, 2023). Die Linien hier sind aus den CODATA-Werten von G, ħ und c sowie der Hubble-Konstante von Planck 2018 berechnet, und Masse und Größe jedes Objekts sind in der Tabelle belegt.
Das Diagramm folgt dem Masse-Größe-Diagramm in C. H. Lineweaver & V. M. Patel, “All objects and some questions”, Am. J. Phys. 91, 819 (2023); erratum 92, 240 (2024)
Linien berechnet mit G = 6,67430 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² (CODATA 2022), ħ = h/2π mit h = 6,62607015 × 10⁻³⁴ J s (exakt), c = 299.792.458 m/s (exakt) und H₀ = 67,4 km/s/Mpc (Planck 2018).