من الإلكترون إلى الكون بأكمله، كل ما هو موجود يقع داخل مثلث واحد. ضلعان من أضلاعه مبنيّان من ثلاثة ثوابت فقط هي G وħ وc: اضغط أي شيء إلى ما وراءهما، فإما أن ينهار إلى ثقب أسود، وإما أن يذوب في ضبابية كمومية.
لو سُحقت الأرض كلها في كرة قطرها نحو 1.8 سم، أي بحجم حبة البندق، لصارت ثقبًا أسود.
سيصبح ثقبًا أسود إذا ضُغط إلى نصف قطر r = 8.87 mm.
rs = 2GM/c² · أصغر من حجمه الحالي 7.2 × 10⁸ مرة
المصدر: NASA Planetary Fact Sheets
انقر على نقطة لعرض التفاصيل · اسحب للتنقل · انقر نقرًا مزدوجًا للتكبير
أدخل كتلة وطولًا. نرسم نصف الطول بوصفه نصف القطر، ونخبرك على أي جانب من الجدران يقع.
من اليسار إلى اليمين الكتلة بالكيلوغرام، ومن الأسفل إلى الأعلى الحجم معبَّرًا عنه بنصف القطر بالمتر. المحوران لوغاريتميان: كل قوة من قوى العشرة تشغل المسافة نفسها، لذا يمتد المخطط على 128 رتبة عشرية في الكتلة و66 رتبة في الحجم. اقرأ الأسس المكتوبة على المحورين لتعرف مدى التباعد الحقيقي بين جسمين.
الخطوط المستقيمة تعني قوانين بسيطة. فحيث يكبر نصف القطر بالتناسب مع الكتلة، يصعد الخط بميل 1؛ وحيث يصغر نصف القطر كلما زادت الكتلة، ينحدر بميل سالب 1؛ وكل خط أقل انحدارًا ميله ⅓ يمثّل كثافة ثابتة، لأن حجم الجسم يتناسب مع مكعب نصف قطره.
r = 2GM/c²
إذا حُشرت كتلة M داخل نصف قطر شفارتزشيلد الخاص بها، فلا شيء يفلت منها، ولا حتى الضوء. ولا يمكن لأي جسم أن يكون أصغر من ذلك بالنسبة إلى كتلته، لأنه سيكون قد صار ثقبًا أسود بالفعل. أما الثقوب السوداء نفسها فتقع على هذا الخط تمامًا.
r = ħ / (Mc)
لا يمكن تحديد موضع أي شيء بدقة تفوق طول موجة كومبتون المخفَّض الخاص به: فإذا حُشر جسيم في حيّز أصغر، بدأت الطاقة اللازمة لذلك تخلق جسيمات جديدة بدلًا من حصره. وتقع الجسيمات النقطية مثل الإلكترون على هذا الخط.
r = c / H₀
الحافة الثالثة هي نصف قطر هابل c/H₀ ≈ 1.4 × 10²⁶ m، أي نحو 14.5 مليار سنة ضوئية: وهي المسافة التي يحمل عندها تمددُ الفضاء المجراتِ بعيدًا بسرعة الضوء. وهو مقياس حجم الكون في يومنا هذا. (أما الكون المرئي فأكبر منه بنحو ثلاث مرات، لأن الضوء القادم من وراء نصف قطر هابل يمكن أن يصل إلينا رغم ذلك.)
يتقاطع خط الثقوب السوداء والخط الكمومي عند كتلة M = 1.54 × 10⁻⁸ kg ونصف قطر r = 2.29 × 10⁻³⁵ m، في حدود عامل قدره جذر 2 من كتلة بلانك (mₚ = 2.18 × 10⁻⁸ kg) وطول بلانك (ℓₚ = 1.62 × 10⁻³⁵ m). وكلاهما مبنيّ من ثلاثة ثوابت طبيعية فقط: G وħ وc. ودون هذه النقطة تصبح الجاذبية وميكانيكا الكم مهمتين في آن واحد، ولا توجد نظرية مُختبَرة تخبرنا بما يحدث هناك.
اطّلع على G وħ وc في جدول الثوابت الفيزيائية ←الذرات وقطرات المطر والبشر والصخور والكواكب كلها تقع قرب خط كثافة الماء. فالمادة العادية ذرات متراصّة كتفًا بكتف، لذا تبقى كثافتها ضمن عامل عشرة تقريبًا من 1000 kg/m³، من الجزيء إلى الكوكب.
تشترك النوى الذرية والنجوم النيوترونية في خط ثانٍ أكثف بنحو 10¹⁴ مرة. فالنجم النيوتروني في الواقع نواة عملاقة واحدة تمسكها الجاذبية بدلًا من القوة النووية الشديدة.
كل نقطة مع مصدرها. الحجم هو نصف القطر؛ وللأجسام غير الكروية هو نصف أكبر أبعادها، وللثقوب السوداء هو نصف قطر أفق الحدث. ولا تُعرض الكثافة إلا للأجسام الكروية تقريبًا.
| الجسم | الكتلة (kg) | نصف القطر (m) | متوسط الكثافة (kg/m³) | المصدر |
|---|---|---|---|---|
| الجسيمات والنوى والذرات | ||||
| النيوترينو (حد أعلى) | < 8.02 × 10⁻³⁷ | > 4.39 × 10⁻⁷ | — | KATRIN Collaboration, Science 388, 180 (2025) — upper limit |
| الإلكترون | 9.11 × 10⁻³¹ | 3.86 × 10⁻¹³ | — | CODATA 2022 (NIST) |
| البروتون | 1.67 × 10⁻²⁷ | 8.41 × 10⁻¹⁶ | 6.72 × 10¹⁷ | CODATA 2022 (NIST) |
| بوزون هيغز | 2.23 × 10⁻²⁵ | 1.58 × 10⁻¹⁸ | — | Particle Data Group, Review of Particle Physics (2024) |
| نواة اليورانيوم | 3.95 × 10⁻²⁵ | 7.44 × 10⁻¹⁵ | 2.29 × 10¹⁷ | K. S. Krane, Introductory Nuclear Physics (R = 1.2 fm × A^1/3) |
| ذرة الهيدروجين | 1.67 × 10⁻²⁷ | 5.29 × 10⁻¹¹ | 2.7 × 10³ | CODATA 2022 (NIST) |
| ذرة السيزيوم | 2.21 × 10⁻²⁵ | 2.6 × 10⁻¹⁰ | 3 × 10³ | J. C. Slater, J. Chem. Phys. 41, 3199 (1964) |
| جزيء الماء | 2.99 × 10⁻²⁶ | 1.4 × 10⁻¹⁰ | 2.6 × 10³ | Water: 18.015 u, ≈0.28 nm effective diameter; raindrop = 2 mm drop (1 mm radius) of water |
| بروتين الهيموغلوبين | 1.07 × 10⁻²² | 2.75 × 10⁻⁹ | 1.23 × 10³ | R. Milo & R. Phillips, Cell Biology by the Numbers (2015) |
| الحياة والأشياء اليومية | ||||
| فيروس كورونا (سارس-كوف-2) | 1 × 10⁻¹⁸ | 5 × 10⁻⁸ | 1.91 × 10³ | Bar-On et al., eLife 9, e57309 (2020) |
| بكتيريا الإشريكية القولونية | 1 × 10⁻¹⁵ | 1 × 10⁻⁶ | — | R. Milo & R. Phillips, Cell Biology by the Numbers (2015) |
| خلية الدم الحمراء | 1 × 10⁻¹³ | 3.9 × 10⁻⁶ | — | R. Milo & R. Phillips, Cell Biology by the Numbers (2015) |
| قطرة المطر | 4.19 × 10⁻⁶ | 1 × 10⁻³ | 1 × 10³ | Water: 18.015 u, ≈0.28 nm effective diameter; raindrop = 2 mm drop (1 mm radius) of water |
| الإنسان | 73 | 0.88 | — | ICRP Publication 89, reference adult male (73 kg, 176 cm) |
| الحوت الأزرق | 1.5 × 10⁵ | 16.8 | — | NOAA Fisheries, Blue whale (up to 110 ft, 330,000 lb) |
| محطة الفضاء الدولية | 4.2 × 10⁵ | 54.5 | — | NASA, International Space Station facts and figures |
| الهرم الأكبر بالجيزة | 6 × 10⁹ | 163 | — | M. Lehner, The Complete Pyramids (1997) — ≈6 million tonnes, 230 m base (radius = half the 326 m base diagonal) |
| الكويكبات والأقمار والكواكب | ||||
| الكويكب بينو | 7.33 × 10¹⁰ | 245 | 1.19 × 10³ | Lauretta et al., Nature 568, 55 (2019) — OSIRIS-REx |
| الكوكب القزم سيريس | 9.38 × 10²⁰ | 4.7 × 10⁵ | 2.16 × 10³ | Park et al., Nature 537, 515 (2016) — Dawn |
| القمر | 7.35 × 10²² | 1.74 × 10⁶ | 3.34 × 10³ | NASA Planetary Fact Sheets |
| الأرض | 5.97 × 10²⁴ | 6.37 × 10⁶ | 5.51 × 10³ | NASA Planetary Fact Sheets |
| المشتري | 1.9 × 10²⁷ | 6.99 × 10⁷ | 1.33 × 10³ | NASA Planetary Fact Sheets |
| النجوم والنجوم الميتة | ||||
| الشمس | 1.99 × 10³⁰ | 6.96 × 10⁸ | 1.41 × 10³ | IAU 2015 Resolution B3 (nominal solar values) |
| الشعرى اليمانية أ | 4.1 × 10³⁰ | 1.19 × 10⁹ | 581 | Bond et al., ApJ 840, 70 (2017); Kervella et al., A&A 408, 681 (2003) |
| منكب الجوزاء | 3.58 × 10³¹ | 5.32 × 10¹¹ | 5.69 × 10⁻⁵ | Joyce et al., ApJ 902, 63 (2020) |
| الشعرى اليمانية ب (قزم أبيض) | 2.02 × 10³⁰ | 5.63 × 10⁶ | 2.7 × 10⁹ | Bond et al., ApJ 840, 70 (2017) — mass and radius |
| النجم النيوتروني | 4.14 × 10³⁰ | 1.24 × 10⁴ | 5.19 × 10¹⁷ | PSR J0740+6620: Riley et al., ApJL 918, L27 (2021) — radius; Fonseca et al., ApJL 915, L12 (2021) — mass |
| الثقوب السوداء | ||||
| الدجاجة إكس-1 (ثقب أسود) | 4.22 × 10³¹ | 6.26 × 10⁴ | — | Miller-Jones et al., Science 371, 1046 (2021) |
| القوس أ* (ثقب أسود) | 8.54 × 10³⁶ | 1.27 × 10¹⁰ | — | GRAVITY Collaboration, A&A 657, L12 (2022) |
| الثقب الأسود M87* | 1.29 × 10⁴⁰ | 1.92 × 10¹³ | — | Event Horizon Telescope Collaboration, ApJL 875, L6 (2019) |
| المجرات والكون | ||||
| المجموعة الشمسية (حتى نبتون) | 1.99 × 10³⁰ | 4.5 × 10¹² | — | NASA Planetary Fact Sheets |
| درب التبانة | 4.18 × 10⁴¹ | 6.48 × 10²⁰ | — | Watkins et al., ApJ 873, 118 (2019) — mass within 21 kpc |
| عنقود مجري | 1.99 × 10⁴⁵ | 6.17 × 10²² | — | Kravtsov & Borgani, ARA&A 50, 353 (2012) — typical rich cluster |
| الكون (كرة هابل) | 9.24 × 10⁵² | 1.37 × 10²⁶ | — | Planck Collaboration, A&A 641, A6 (2020) — H₀ = 67.4 km/s/Mpc |
نصف قطر شفارتزشيلد للأرض هو 2GM/c² = 8.87 مم. فلكي تصبح ثقبًا أسود، يجب أن يُسحق الكوكب كله في كرة قطرها نحو 1.8 سم، أي بحجم حبة البندق تقريبًا.
نحو كتلة بلانك، M ≈ 2.18 × 10⁻⁸ kg، أي ما يقارب كتلة حبة رمل. وأي جسم أخف من ذلك سيكون أفق حدثه أصغر من طوله الموجي الكمومي، وعندها تفقد فكرة الثقب الأسود معناها. وكل ثقب أسود رُصد حتى الآن تبلغ كتلته بضعة أضعاف كتلة الشمس على الأقل.
يقع الكون الواقع داخل نصف قطر هابل على خط الثقوب السوداء لأن c/H₀، في كون مسطّح عند الكثافة الحرجة، يساوي 2GM/c² للكتلة التي يحويها. لكن الثقب الأسود مادة تنهار داخل فضاء أكبر، بينما الكون يتمدد وليس له خارج، ولذلك تتوقف المقارنة عند هذا الحد.
لم تكشف التجارب عن أي حجم داخلي للإلكترون، لذلك يُرسم عند طول موجة كومبتون المخفَّض الخاص به ħ/(mₑc) = 3.86 × 10⁻¹³ m. ودون هذا المقياس لا يمكن تحديد موضعه دون أن تخلق الطاقة اللازمة جسيمات جديدة.
يتبع مخططَ الكتلة–الحجم الذي نشره لاينويفر وباتيل في ورقتهما All objects and some questions في مجلة American Journal of Physics عام 2023. وهنا حُسبت الخطوط من قيم CODATA للثوابت G وħ وc ومن ثابت هابل وفق قياسات Planck 2018، وكتلة كل جسم وحجمه موثّقان بمصادرهما في الجدول.
يتبع هذا المخطط مخطط الكتلة–الحجم الوارد في C. H. Lineweaver & V. M. Patel, “All objects and some questions”, Am. J. Phys. 91, 819 (2023); erratum 92, 240 (2024)
حُسبت الخطوط من القيم: G = 6.67430 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² (CODATA 2022)، وħ = h/2π حيث h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J s (قيمة دقيقة)، وc = 299,792,458 m/s (قيمة دقيقة)، وH₀ = 67.4 km/s/Mpc (Planck 2018).