Do elétron ao universo inteiro, tudo o que existe cabe dentro de um único triângulo. Dois de seus lados são construídos com apenas três constantes, G, ħ e c: comprima qualquer coisa além deles e ela ou colapsa em um buraco negro, ou se dissolve em um borrão quântico.
Esmague a Terra inteira em uma bola de cerca de 1,8 cm de diâmetro, do tamanho de uma bolinha de gude, e ela vira um buraco negro.
Viraria um buraco negro se fosse comprimido até um raio de 8,87 mm.
rs = 2GM/c² · 7,2 × 10⁸ vezes menor do que é hoje
Fonte: NASA Planetary Fact Sheets
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Digite uma massa e um comprimento. Usamos metade do comprimento como raio e mostramos de que lado das paredes ele cai.
Da esquerda para a direita está a massa em quilogramas; de baixo para cima, o tamanho, dado como raio em metros. Os dois eixos são logarítmicos: cada potência de dez ocupa o mesmo espaço, então o gráfico abrange 128 potências de dez em massa e 66 em tamanho. Observe os expoentes nos eixos para ver o quanto dois objetos estão realmente distantes.
Retas significam leis simples. Onde o tamanho cresce junto com a massa, a reta sobe com inclinação +1; onde o tamanho diminui à medida que a massa cresce, ela desce com inclinação −1; e toda reta mais suave, com inclinação ⅓, é uma densidade constante, porque o volume cresce com o cubo do raio.
r = 2GM/c²
Coloque uma massa M dentro do seu raio de Schwarzschild e nada, nem mesmo a luz, consegue sair. Nada pode ser menor do que isso para a sua massa, porque já seria um buraco negro. Os próprios buracos negros ficam exatamente sobre a linha.
r = ħ / (Mc)
Nada pode ser localizado com mais precisão do que o seu comprimento de onda Compton reduzido: comprima uma partícula em uma região menor e a energia necessária passa a criar novas partículas. Partículas pontuais, como o elétron, ficam sobre esta linha.
r = c / H₀
O terceiro limite é o raio de Hubble c/H₀, cerca de 1,4 × 10²⁶ m ou 14,5 bilhões de anos-luz: a distância em que a expansão do espaço afasta as galáxias à velocidade da luz. É a escala de tamanho do universo hoje. (O universo observável é cerca de três vezes maior, porque a luz vinda de além do raio de Hubble ainda pode chegar até nós.)
A linha dos buracos negros e a linha quântica se cruzam em uma massa de 1,54 × 10⁻⁸ kg e um raio de 2,29 × 10⁻³⁵ m, a menos de um fator √2 da massa de Planck (2,18 × 10⁻⁸ kg) e do comprimento de Planck (1,62 × 10⁻³⁵ m). Ambos são construídos com apenas três constantes da natureza: G, ħ e c. Abaixo desse ponto, a gravidade e a mecânica quântica importam ao mesmo tempo, e nenhuma teoria já testada diz o que acontece ali.
Veja G, ħ e c na tabela de constantes físicas →Átomos, gotas de chuva, pessoas, rochas e planetas ficam todos perto da linha da densidade da água. A matéria comum é feita de átomos encostados uns nos outros, por isso, de uma molécula a um planeta, ela fica dentro de um fator de mais ou menos dez de 1.000 kg/m³.
Núcleos atômicos e estrelas de nêutrons compartilham uma segunda linha, cerca de 10¹⁴ vezes mais densa. Uma estrela de nêutrons é, na prática, um único núcleo gigante mantido coeso pela gravidade, e não pela força forte.
Cada ponto com sua fonte. O tamanho é o raio; para objetos que não são redondos, é metade da maior dimensão, e para buracos negros é o raio do horizonte de eventos. A densidade só aparece para objetos aproximadamente redondos.
| Objeto | Massa (kg) | Raio (m) | Densidade média (kg/m³) | Fonte |
|---|---|---|---|---|
| Partículas, núcleos e átomos | ||||
| Neutrino (limite superior) | < 8,02 × 10⁻³⁷ | > 4,39 × 10⁻⁷ | — | KATRIN Collaboration, Science 388, 180 (2025) — upper limit |
| Elétron | 9,11 × 10⁻³¹ | 3,86 × 10⁻¹³ | — | CODATA 2022 (NIST) |
| Próton | 1,67 × 10⁻²⁷ | 8,41 × 10⁻¹⁶ | 6,72 × 10¹⁷ | CODATA 2022 (NIST) |
| Bóson de Higgs | 2,23 × 10⁻²⁵ | 1,58 × 10⁻¹⁸ | — | Particle Data Group, Review of Particle Physics (2024) |
| Núcleo de urânio | 3,95 × 10⁻²⁵ | 7,44 × 10⁻¹⁵ | 2,29 × 10¹⁷ | K. S. Krane, Introductory Nuclear Physics (R = 1.2 fm × A^1/3) |
| Átomo de hidrogênio | 1,67 × 10⁻²⁷ | 5,29 × 10⁻¹¹ | 2,7 × 10³ | CODATA 2022 (NIST) |
| Átomo de césio | 2,21 × 10⁻²⁵ | 2,6 × 10⁻¹⁰ | 3 × 10³ | J. C. Slater, J. Chem. Phys. 41, 3199 (1964) |
| Molécula de água | 2,99 × 10⁻²⁶ | 1,4 × 10⁻¹⁰ | 2,6 × 10³ | Water: 18.015 u, ≈0.28 nm effective diameter; raindrop = 2 mm drop (1 mm radius) of water |
| Proteína hemoglobina | 1,07 × 10⁻²² | 2,75 × 10⁻⁹ | 1,23 × 10³ | R. Milo & R. Phillips, Cell Biology by the Numbers (2015) |
| Vida e coisas do dia a dia | ||||
| Coronavírus (SARS-CoV-2) | 1 × 10⁻¹⁸ | 5 × 10⁻⁸ | 1,91 × 10³ | Bar-On et al., eLife 9, e57309 (2020) |
| Bactéria E. coli | 1 × 10⁻¹⁵ | 1 × 10⁻⁶ | — | R. Milo & R. Phillips, Cell Biology by the Numbers (2015) |
| Glóbulo vermelho | 1 × 10⁻¹³ | 3,9 × 10⁻⁶ | — | R. Milo & R. Phillips, Cell Biology by the Numbers (2015) |
| Gota de chuva | 4,19 × 10⁻⁶ | 1 × 10⁻³ | 1 × 10³ | Water: 18.015 u, ≈0.28 nm effective diameter; raindrop = 2 mm drop (1 mm radius) of water |
| Ser humano | 73 | 0,88 | — | ICRP Publication 89, reference adult male (73 kg, 176 cm) |
| Baleia-azul | 1,5 × 10⁵ | 16,8 | — | NOAA Fisheries, Blue whale (up to 110 ft, 330,000 lb) |
| Estação Espacial Internacional | 4,2 × 10⁵ | 54,5 | — | NASA, International Space Station facts and figures |
| Grande Pirâmide de Gizé | 6 × 10⁹ | 163 | — | M. Lehner, The Complete Pyramids (1997) — ≈6 million tonnes, 230 m base (radius = half the 326 m base diagonal) |
| Asteroides, luas e planetas | ||||
| Asteroide Bennu | 7,33 × 10¹⁰ | 245 | 1,19 × 10³ | Lauretta et al., Nature 568, 55 (2019) — OSIRIS-REx |
| Planeta anão Ceres | 9,38 × 10²⁰ | 4,7 × 10⁵ | 2,16 × 10³ | Park et al., Nature 537, 515 (2016) — Dawn |
| Lua | 7,35 × 10²² | 1,74 × 10⁶ | 3,34 × 10³ | NASA Planetary Fact Sheets |
| Terra | 5,97 × 10²⁴ | 6,37 × 10⁶ | 5,51 × 10³ | NASA Planetary Fact Sheets |
| Júpiter | 1,9 × 10²⁷ | 6,99 × 10⁷ | 1,33 × 10³ | NASA Planetary Fact Sheets |
| Estrelas e estrelas mortas | ||||
| Sol | 1,99 × 10³⁰ | 6,96 × 10⁸ | 1,41 × 10³ | IAU 2015 Resolution B3 (nominal solar values) |
| Sírius A | 4,1 × 10³⁰ | 1,19 × 10⁹ | 581 | Bond et al., ApJ 840, 70 (2017); Kervella et al., A&A 408, 681 (2003) |
| Betelgeuse | 3,58 × 10³¹ | 5,32 × 10¹¹ | 5,69 × 10⁻⁵ | Joyce et al., ApJ 902, 63 (2020) |
| Sírius B (anã branca) | 2,02 × 10³⁰ | 5,63 × 10⁶ | 2,7 × 10⁹ | Bond et al., ApJ 840, 70 (2017) — mass and radius |
| Estrela de nêutrons | 4,14 × 10³⁰ | 1,24 × 10⁴ | 5,19 × 10¹⁷ | PSR J0740+6620: Riley et al., ApJL 918, L27 (2021) — radius; Fonseca et al., ApJL 915, L12 (2021) — mass |
| Buracos negros | ||||
| Buraco negro Cygnus X-1 | 4,22 × 10³¹ | 6,26 × 10⁴ | — | Miller-Jones et al., Science 371, 1046 (2021) |
| Sagitário A* | 8,54 × 10³⁶ | 1,27 × 10¹⁰ | — | GRAVITY Collaboration, A&A 657, L12 (2022) |
| Buraco negro M87* | 1,29 × 10⁴⁰ | 1,92 × 10¹³ | — | Event Horizon Telescope Collaboration, ApJL 875, L6 (2019) |
| Galáxias e o Universo | ||||
| Sistema Solar (até Netuno) | 1,99 × 10³⁰ | 4,5 × 10¹² | — | NASA Planetary Fact Sheets |
| Via Láctea | 4,18 × 10⁴¹ | 6,48 × 10²⁰ | — | Watkins et al., ApJ 873, 118 (2019) — mass within 21 kpc |
| Aglomerado de galáxias | 1,99 × 10⁴⁵ | 6,17 × 10²² | — | Kravtsov & Borgani, ARA&A 50, 353 (2012) — typical rich cluster |
| Universo (esfera de Hubble) | 9,24 × 10⁵² | 1,37 × 10²⁶ | — | Planck Collaboration, A&A 641, A6 (2020) — H₀ = 67.4 km/s/Mpc |
O raio de Schwarzschild da Terra é 2GM/c² = 8,87 mm. Para virar um buraco negro, o planeta inteiro teria de ser esmagado em uma bola de cerca de 1,8 cm de diâmetro, mais ou menos o tamanho de uma bolinha de gude.
Algo em torno da massa de Planck, 2,18 × 10⁻⁸ kg, mais ou menos a massa de um grão de areia. Qualquer coisa mais leve teria um horizonte de eventos menor que seu próprio comprimento de onda quântico, e aí a ideia de buraco negro deixa de fazer sentido. Todos os buracos negros observados até hoje têm pelo menos algumas vezes a massa do Sol.
O universo dentro do raio de Hubble cai sobre a linha dos buracos negros porque, para um universo plano na densidade crítica, c/H₀ é igual a 2GM/c² para a massa contida nele. Mas um buraco negro é matéria colapsando dentro de um espaço maior, enquanto o Universo está se expandindo e não tem lado de fora, então a comparação para por aí.
Os experimentos não encontraram nenhum tamanho interno para o elétron, por isso ele é marcado no seu comprimento de onda Compton reduzido, ħ/(mₑc) = 3,86 × 10⁻¹³ m. Abaixo dessa escala, não é possível localizá-lo sem que a energia necessária crie novas partículas.
Ele segue o diagrama massa–tamanho de Lineweaver e Patel, “All objects and some questions” (American Journal of Physics, 2023). Aqui as linhas são calculadas a partir dos valores CODATA de G, ħ e c e da constante de Hubble da missão Planck (2018), e a massa e o tamanho de cada objeto têm a fonte citada na tabela.
O gráfico segue o diagrama massa–tamanho de C. H. Lineweaver & V. M. Patel, “All objects and some questions”, Am. J. Phys. 91, 819 (2023); erratum 92, 240 (2024)
Linhas calculadas com G = 6,67430 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² (CODATA 2022), ħ = h/2π com h = 6,62607015 × 10⁻³⁴ J s (exato), c = 299.792.458 m/s (exato) e H₀ = 67,4 km/s/Mpc (Planck 2018).