Калькулятор НОД и НОК

Что такое НОД и НОК?

Наибольший общий делитель (НОД) — это наибольшее целое число, которое делит без остатка два и более числа. Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее положительное число, которое делится на каждое из них. Эти две идеи лежат в основе большой части школьной математики: сокращение дробей использует НОД, а сложение или вычитание дробей требует НОК в качестве общего знаменателя. Они также возникают в задачах о расписании — когда два повторяющихся события вновь совпадают — и в укладке плитки, упаковке и проектировании передач. Этот калькулятор находит оба значения для целого списка чисел и показывает разложение на простые множители, чтобы вы видели, откуда берётся ответ.

Как пользоваться

Введите два и более целых числа через запятую или пробел, например 12, 18, 24. Калькулятор мгновенно покажет НОД и НОК. Ниже он перечислит разложение каждого числа на простые множители и шаги алгоритма Евклида, использованные для получения НОД, чтобы вы могли проследить или проверить вычисления. Если одно из чисел равно 0, НОК не определено и показывается прочерком, а НОД по-прежнему использует ненулевые значения.

Методы

Алгоритм Евклида находит НОД: разделите большее число на меньшее, сохраните остаток, затем повторите с меньшим числом и этим остатком, пока остаток не станет 0; последнее ненулевое значение — это НОД. НОК двух чисел следует из НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b). Для более чем двух чисел оба применяются попарно по списку. В представлении через простые множители НОД равен произведению общих степеней простых чисел, а НОК — произведению наибольших степеней простых чисел.

Как читать результат

НОД, равный 1, означает, что числа взаимно простые — у них нет общего делителя, кроме 1. Большой НОД говорит, что у чисел много общего и дробь, построенная на них, сильно сокращается. НОК всегда не меньше наибольшего из введённых чисел и является первой точкой, где совпадают циклы всех чисел, поэтому оно работает как общий знаменатель. Разложение на простые множители делает оба значения наглядными: общие простые числа образуют НОД, все простые числа в наибольшей степени образуют НОК.

Частые вопросы