Calculateur de PGCD et PPCM

Que sont le PGCD et le PPCM ?

Le plus grand commun diviseur (PGCD) est le plus grand entier qui divise exactement deux nombres ou plus. Le plus petit commun multiple (PPCM) est le plus petit nombre positif que chacun divise. Ces deux idées soutiennent une grande partie des mathématiques scolaires : réduire des fractions utilise le PGCD, tandis qu'additionner ou soustraire des fractions nécessite le PPCM comme dénominateur commun. Ils apparaissent aussi dans des problèmes de planification, par exemple quand deux événements répétés coïncident à nouveau, ainsi que dans le carrelage, l'emballage et la conception d'engrenages. Ce calculateur trouve les deux pour toute une liste de nombres et affiche la décomposition en facteurs premiers pour que vous voyiez d'où vient la réponse.

Comment l'utiliser

Saisissez deux nombres entiers ou plus, séparés par des virgules ou des espaces, par exemple 12, 18, 24. Le calculateur affiche instantanément le PGCD et le PPCM. En dessous, il liste la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre et les étapes de l'algorithme d'Euclide utilisées pour atteindre le PGCD, afin que vous puissiez suivre ou vérifier la démarche. Si un nombre est 0, le PPCM n'est pas défini et s'affiche sous forme de tiret, tandis que le PGCD utilise toujours les valeurs non nulles.

Les méthodes

L'algorithme d'Euclide trouve le PGCD : divisez le plus grand nombre par le plus petit, gardez le reste, puis recommencez avec le plus petit et ce reste jusqu'à ce que le reste soit 0 ; la dernière valeur non nulle est le PGCD. Le PPCM de deux nombres découle de PPCM(a, b) = a × b ÷ PGCD(a, b). Pour plus de deux nombres, les deux s'appliquent deux par deux sur la liste. La vue en facteurs premiers calcule le PGCD comme le produit des puissances de premiers communes et le PPCM comme le produit des plus hautes puissances de premiers.

Lire le résultat

Un PGCD de 1 signifie que les nombres sont premiers entre eux, ils ne partagent aucun facteur commun autre que 1. Un grand PGCD indique que les nombres ont beaucoup en commun et qu'une fraction bâtie sur eux peut être réduite fortement. Le PPCM est toujours au moins aussi grand que la plus grande entrée et constitue le premier point où les cycles de tous les nombres coïncident, c'est pourquoi il sert de dénominateur commun. La décomposition en facteurs premiers rend les deux clairs : les premiers communs forment le PGCD, tous les premiers à leur plus haute puissance forment le PPCM.

Questions fréquentes