حاسبة القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

ما هما القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر؟

القاسم المشترك الأكبر هو أكبر عدد صحيح يقسم عددين أو أكثر تماماً. والمضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب تقسمه جميع تلك الأعداد. تدعم هاتان الفكرتان قدراً كبيراً من رياضيات المدرسة: فاختزال الكسور يستخدم القاسم المشترك الأكبر، بينما يتطلب جمع الكسور أو طرحها المضاعف المشترك الأصغر كمقام موحّد. كما تظهران في مسائل الجدولة — متى يتزامن حدثان متكرران من جديد — وفي البلاط والتغليف وتصميم التروس. تجد هذه الحاسبة كليهما لقائمة كاملة من الأعداد، وتعرض التحليل إلى عوامل أولية لترى من أين تأتي الإجابة.

كيفية الاستخدام

اكتب عددين صحيحين أو أكثر مفصولين بفواصل أو مسافات، مثل 12، 18، 24. تعرض الحاسبة فوراً القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر. وأسفل ذلك تسرد التحليل إلى عوامل أولية لكل عدد وخطوات خوارزمية إقليدس المستخدمة للوصول إلى القاسم المشترك الأكبر، لتتابع الحل أو تتحقق منه. وإذا كان أحد الأعداد صفراً، فإن المضاعف المشترك الأصغر يكون غير معرّف ويظهر كشرطة، بينما يستمر القاسم المشترك الأكبر في استخدام القيم غير الصفرية.

الطرق

تجد خوارزمية إقليدس القاسم المشترك الأكبر: اقسم العدد الأكبر على الأصغر، واحتفظ بالباقي، ثم كرر مع العدد الأصغر وذلك الباقي حتى يصبح الباقي صفراً؛ وآخر قيمة غير صفرية هي القاسم المشترك الأكبر. ويُحسب المضاعف المشترك الأصغر لعددين من: ل.م.م(a, b) = a × b ÷ ق.م.أ(a, b). ولأكثر من عددين يُطبَّق كلاهما بشكل ثنائي عبر القائمة. ومن منظور العوامل الأولية، القاسم المشترك الأكبر هو حاصل ضرب قوى الأعداد الأولية المشتركة، والمضاعف المشترك الأصغر هو حاصل ضرب أعلى قوى الأعداد الأولية.

قراءة النتيجة

القاسم المشترك الأكبر الذي يساوي 1 يعني أن الأعداد أولية فيما بينها — لا تشترك في أي عامل غير 1. والقاسم الكبير يعني أن للأعداد قاسماً مشتركاً واسعاً ويمكن اختزال كسر مبني عليها كثيراً. والمضاعف المشترك الأصغر دائماً لا يقل عن أكبر مُدخَل، وهو أول نقطة تتلاقى فيها دورات جميع الأعداد، لذا يصلح كمقام موحّد. ويوضح التحليل إلى عوامل أولية كليهما: الأعداد الأولية المشتركة تُكوّن القاسم المشترك الأكبر، وجميع الأعداد الأولية بأعلى قواها تُكوّن المضاعف المشترك الأصغر.

أسئلة شائعة