ggT- und kgV-Rechner

Was sind ggT und kgV?

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte ganze Zahl, die zwei oder mehr Zahlen ohne Rest teilt. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste positive Zahl, in die jede von ihnen aufgeht. Diese beiden Ideen tragen einen großen Teil der Schulmathematik: Das Kürzen von Brüchen nutzt den ggT, während das Addieren oder Subtrahieren von Brüchen das kgV als gemeinsamen Nenner braucht. Sie tauchen auch in Planungsaufgaben auf, etwa wann zwei sich wiederholende Ereignisse wieder zusammenfallen, sowie beim Fliesen, Verpacken und im Getriebebau. Dieser Rechner findet beide für eine ganze Zahlenliste und zeigt die Primfaktorzerlegung, damit du siehst, woher das Ergebnis kommt.

So wird es benutzt

Gib zwei oder mehr ganze Zahlen ein, getrennt durch Kommas oder Leerzeichen, zum Beispiel 12, 18, 24. Der Rechner zeigt sofort den ggT und das kgV. Darunter listet er die Primfaktorzerlegung jeder Zahl und die Schritte des euklidischen Algorithmus auf, mit denen der ggT erreicht wurde, sodass du den Weg verfolgen oder prüfen kannst. Ist eine Zahl 0, ist das kgV nicht definiert und wird als Strich angezeigt, während der ggT weiterhin die von null verschiedenen Werte nutzt.

Die Verfahren

Der euklidische Algorithmus findet den ggT: Teile die größere Zahl durch die kleinere, behalte den Rest und wiederhole mit der kleineren Zahl und diesem Rest, bis der Rest 0 ist; der letzte von null verschiedene Wert ist der ggT. Das kgV zweier Zahlen ergibt sich aus kgV(a, b) = a × b ÷ ggT(a, b). Bei mehr als zwei Zahlen werden beide paarweise über die Liste angewandt. Über Primfaktoren ist der ggT das Produkt der gemeinsamen Primpotenzen und das kgV das Produkt der höchsten Primpotenzen.

Das Ergebnis deuten

Ein ggT von 1 bedeutet, dass die Zahlen teilerfremd sind, sie haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler. Ein großer ggT zeigt, dass die Zahlen viel gemeinsam haben und ein daraus gebildeter Bruch weit gekürzt werden kann. Das kgV ist immer mindestens so groß wie die größte Eingabe und der erste Punkt, an dem sich die Zyklen aller Zahlen treffen, deshalb dient es als gemeinsamer Nenner. Die Primfaktorzerlegung macht beides deutlich: gemeinsame Primzahlen bilden den ggT, alle Primzahlen in ihrer höchsten Potenz bilden das kgV.

Häufige Fragen