Steigungsrechner

Steigung, Geradengleichung, Abstand und Mittelpunkt aus zwei Punkten berechnen, mit Diagramm

Punkt 1

Punkt 2

Diagramm

Die zwei Punkte und die Gerade durch sie, maßstabsgetreu mit Höhen- und Längenunterschied gezeichnet.

Steigung (m)

Geradengleichung

y = 2x

y-Achsenabschnitt (b)

x-Achsenabschnitt

Abstand

4.4721

Mittelpunkt

(1, 2)

Steigungswinkel

63.43°

Steigung (%)

200%

Schritt für Schritt

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = (4 − 0) / (2 − 0) = 4 / 2 = 2

b = y₁ − m·x₁ = 0 − (2)·0 = 0

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) = √(2² + 4²) = 4.4721

Was ist der Steigungsrechner?

Dieser Steigungsrechner nimmt zwei Punkte (x₁, y₁) und (x₂, y₂) und ermittelt alles über die Gerade und die Strecke zwischen ihnen. Er liefert die Steigung m, die Geradengleichung in Steigungs-Achsenabschnitts-Form y = mx + b, den y- und x-Achsenabschnitt, den Abstand der beiden Punkte, ihren Mittelpunkt, den Winkel der Geraden zur Waagerechten und die Steigung als Prozentwert. Ein maßstabsgetreues Koordinatendiagramm zeigt die beiden Punkte, die Gerade durch sie sowie den Höhen- und Längenunterschied, die die Steigung definieren. Sonderfälle werden klar behandelt: Eine senkrechte Gerade hat eine undefinierte Steigung, eine waagerechte Gerade eine Steigung von null, und zwei identische Punkte werden markiert, weil sie keine eindeutige Gerade definieren.

So verwendest du den Rechner

1. Gib die x- und y-Koordinaten des ersten Punktes ein. 2. Gib die x- und y-Koordinaten des zweiten Punktes ein. 3. Das Ergebnis aktualisiert sich sofort – ohne Knopfdruck. 4. Lies die Steigung, die Geradengleichung y = mx + b, die Achsenabschnitte, den Abstand, den Mittelpunkt und den Winkel ab und prüfe das maßstabsgetreue Diagramm.

Die Formeln hinter dem Ergebnis

Steigung (Höhenunterschied durch horizontalen Abstand): m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). y-Achsenabschnitt: b = y₁ − m·x₁, also die Gerade y = mx + b. x-Achsenabschnitt (wenn m ≠ 0): x = −b / m. Abstand der Punkte: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Mittelpunkt: ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2). Steigungswinkel: θ = arctan(m). Beispiel: Für (0, 0) und (2, 4) ist m = 4 / 2 = 2, b = 0, also y = 2x; der Abstand ist √(4 + 16) ≈ 4,472, der Mittelpunkt (1, 2) und der Winkel etwa 63,43°.

Die Ergebnisse deuten

Die Steigung gibt an, wie steil die Gerade ist: Eine positive Steigung steigt von links nach rechts, eine negative fällt, und je größer der Betrag, desto steiler. Eine Steigung von 0 ist eine flache, waagerechte Gerade (y = b). Haben beide Punkte denselben x-Wert, ist die Gerade senkrecht, der horizontale Abstand ist null und die Steigung undefiniert – es gibt keinen y-Achsenabschnitt und die Gleichung lautet einfach x = konstant. Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt mit der y-Achse, der x-Achsenabschnitt der mit der x-Achse. Der Prozentwert (Steigung × 100) ist dasselbe Maß wie bei Straßen- und Rampengefällen, und der Steigungswinkel ist diese Steigung in Grad.

Häufige Fragen

Wie wird die Steigung berechnet? ▾

Die Steigung ist die Änderung in y geteilt durch die Änderung in x: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), oft als Höhenunterschied durch Längenunterschied bezeichnet. Für die Punkte (0, 0) und (2, 4) ist die Steigung (4 − 0) / (2 − 0) = 2.

Was passiert bei einer senkrechten Geraden? ▾

Haben beide Punkte dieselbe x-Koordinate, ist der horizontale Abstand null, also ist die Steigung undefiniert (man würde durch null teilen). Die Gerade ist senkrecht und wird als x = konstant geschrieben; sie hat keinen y-Achsenabschnitt.

Wie finde ich die Geradengleichung? ▾

Berechne zuerst die Steigung m, dann den y-Achsenabschnitt b = y₁ − m·x₁. Die Gerade in Steigungs-Achsenabschnitts-Form ist y = mx + b. Für (1, 1) und (3, 5): m = 2 und b = −1, also y = 2x − 1.

Was sind Abstand und Mittelpunkt? ▾

Der Abstand ist die geradlinige Länge zwischen den beiden Punkten, d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Der Mittelpunkt liegt genau auf halbem Weg zwischen ihnen, ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2).