極限計算機
lim x→a f(x) を数値的に求め、左右からの接近を表とグラフで可視化
極限を求める関数
極限
関数と接近点 a を入力し、「極限を求める」を押すと、極限値と a への接近の様子が表示されます。
このツールについて
この極限計算機は、関数の極限 lim x→a f(x) をすべてブラウザ内で数値的に求めます。式を代数的に変形するのではなく、安全なパーサ（evalなし）で式の木に変換し、a に左右から段階的に接近（h = 0.1, 0.01, … と縮める）して値の収束を判定します。左右が同じ有限値に収束すれば有限の極限、両側が同じ無限大へ発散すれば +∞ または −∞、左右が一致しなければ「存在しない(DNE)」と報告し、その際は片側の値も示します。x→∞ や x→−∞、片側極限にも対応します。sin(x)/x のように代入では 0/0 となる不定形でも、接近の値から正しい数値極限を導けるのが数値的手法の強みです。これは記号的な厳密値ではなく、極めて精度の高い数値近似です。
使い方
- 1 極限を求める関数を入力します（例: sin(x)/x、(x^2-4)/(x-2)、1/x）。
- 2 変数（既定はx）を設定し、接近点 a を入力します。∞ / −∞ ボタンも使えます。
- 3 方向（両側・左側・右側）を選びます。片側極限を調べたいときに使います。
- 4 「極限を求める」を押すと、極限値と a への接近を示す表・グラフが表示されます。
仕組み
計算機はまず式を抽象構文木に解析します。有限点 a への接近では、a−h と a+h（h = 0.1, 0.01, …, 1e-7）でそれぞれ関数を評価し、左右の数列の収束を調べます。隣り合う値の相対差が十分小さくなる「安定した踊り場」を探して有限の極限値とし、整数や単純な分数に近ければ綺麗に丸めます。値の大きさが一定の符号で単調に増大していれば +∞ / −∞ と判定します。x→±∞ の場合は x = ±10, 100, …, 1e8 で評価して同様に判定します。左右が異なる有限値（ジャンプ）や、片方だけ無限大、振動する場合は、両側極限は「存在しない(DNE)」とし、片側の値を併記します。なお (1−cos x)/x^2 のように h が極端に小さいと桁落ちで誤差が増える関数があるため、最後の点ではなく数列全体で最も安定した区間を採用しています。
よくある質問
数値極限とは何ですか？記号計算とどう違いますか？
数値極限は、式を代数的に変形せず、接近点に左右から実際に近づけて関数値を評価し、その収束先を読み取る方法です。記号計算（ロピタルの定理や因数分解など）とは異なり、どんな式にも適用でき、sin(x)/x のような不定形でも接近の値から極限を求められます。結果は厳密な閉形式ではなく、非常に精度の高い近似値です。
片側極限とは何ですか？
片側極限は、a の片側だけから接近したときの極限です。左側極限 (x→a⁻) は a より小さい側から、右側極限 (x→a⁺) は a より大きい側から近づけます。両側極限が存在するのは、左右の片側極限が一致するときだけです。方向セグメントで「左側」「右側」を選ぶと、その片側だけを調べられます。
「存在しない(DNE)」とはどういう意味ですか？
両側の極限が存在しないことを意味します。よくある原因は、(1) 左右の片側極限が異なる有限値になるジャンプ（例: |x|/x の x→0）、(2) 片側が +∞ で片側が −∞（例: 1/x の x→0）、(3) sin(1/x) の x→0 のように値が振動して収束しない場合です。DNE のときは、参考として左側・右側それぞれの極限を表示します。
x→∞ の極限はどう計算しますか？
接近点に ∞ または −∞ を入力（またはボタンを使用）すると、x を 10, 100, …, 1億 と大きく（または小さく）して関数を評価し、収束する有限値か、発散する無限大かを判定します。例えば (1+1/x)^x は x→∞ で e に、1/x は 0 に収束し、x や x^2 は +∞ に発散します。
sin(x)/x のような不定形はなぜ計算できるのですか？
x=0 を直接代入すると sin(0)/0 = 0/0 となり定義できませんが、0 に近い値を入れると f(x) は 1 に限りなく近づきます。数値極限はこの「接近の値」を読み取るため、0/0 や ∞/∞ といった不定形でも正しい極限（この場合 1）を求められます。同様に (1−cos x)/x^2 → 1/2、(e^x−1)/x → 1 なども確認できます。
関連ツールと用途
極限は微積分の出発点です。微分計算機では極限から定義される導関数を求め、積分計算機では無限和の極限として定積分を計算し、グラフ計算機では関数が接近点でどう振る舞うかを目で確かめられます。これらを併用して、微積分の基礎である「接近」の概念を体感しましょう。